核电站---两种DP解法

题目：核电站

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描述

一个核电站有N个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质，则会发生爆炸，于是，在某些坑中可能不放核物质。

任务：对于给定的N和M，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数

输入

只一行，两个正整数N，M( 1 < N < 50，2 ≤ M ≤ 5 )

输出

一个正整数S，表示方案总数。

样例输入

4 3

样例输出

13

这道题很明显，以第i个坑为阶段，因为不同的状态定义方式，解法不同。
有以下两种方法（仅DP）：

1. 设dp[i, j]表示考虑在第i个坑放核物质，向前连续j个（包括i）坑放核物质的方案数。不难观察，dp[i, 0] = $displaystyle sum_{k = 0}^m{dp[i - 1, k]} $，dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1]。
   第一种方法下代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn = 50 + 5;
int n, m;
long long dp[maxn][6];
int main()
{
	scanf("%d %d", &n, &m);
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[0][0] = 1;
	long long sum;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		sum = dp[i - 1][0];
		for(int j = 1; j < m; ++ j)
		{
			dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
			sum += dp[i - 1][j];
		}
		dp[i][0] = sum;
	}
	sum = 0;
	for(int i = 0; i < m; ++ i) sum += dp[n][i];
	printf("%lld
", sum);
	return 0;
}

2. 设dp[i]为前i个坑所有符合题意的情况的数量。

   当i < m时，前面任意方案都符合题意，因此dp[i] = dp[i - 1] * 2

   当i >= m时，我们可以知道，当该坑放核物质的时候，之前是否放核物质至关重要，如果不放就没有影响了。

   考虑：当第i个坑不放核物质的时候，方案数共有dp[i - 1]；当从第i个坑开始前面连续放一个的时候，方案数共有dp[i - 2]（第i - 1个坑不放）；当从第i个坑开始前面连续放2个的时候，方案数共有dp[i - 3]（第i - 2坑不放）...；当从第i个坑开始前面连续放m-1个的时候，方案数共有dp[i - m]（第i - m + 1坑不放）。

   故有：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + ... + dp[i - m]；再写一个，两式相减：dp[i + 1] = dp[i] * 2 - dp[i - m];
   **注意：i >= m，当i > m时满足：dp[i] = dp[i - 1] * 2 - dp[i - m - 1]；当i = m时，dp[m] = dp[i - 1] * 2 - 1； **

   该方法下代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn = 50 + 5;
int n, m;
long long dp[maxn] = {1};
int main()
{
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i < m; ++ i) dp[i] = dp[i - 1] << 1;
	dp[m] = (1 << m) - 1; 
	for(int i = m + 1; i <= n; ++ i) dp[i] = (dp[i - 1] << 1) - dp[i - m - 1];
	printf("%lld
", dp[n]);
	return 0;
}