华南理工大学“三七互娱杯”程序设计竞赛（重现赛）A HRY and codefire

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/874/A

题目大意：

　　有一款游戏，你有 2 个账户，一开始都为 0 级，封顶为 n 级，当你的账户为 i 级时，进行一场战斗胜利并升到下一级的概率为 p_i ，失败不会降级。你现在有如下策略：

1. 一开始随便用一个账户开始。
2. 如果这把赢了，就继续用这个账户。
3. 如果这把输了，就换个账户继续打。

　　求要使其中一个账户封顶的期望游玩次数。

分析：

　　设 dp[i][j] 为当两个账号分别为 i，j 级时，并且下一场比赛使用 i 级的账户参赛，达到n级仍需要的期望参赛次数。

　　那么 dp[*][n] = dp[n][*] = 0。

　　于是转移方程为：$$dp[i][j] = p_i * dp[i + 1][j] + (1 - p_i) * dp[j][i] + 1$$

　　但是这个转移方程存在环，可以联立以下方程组：

　　$$dp[i][j] = p_i * dp[i + 1][j] + (1 - p_i) * dp[j][i] + 1$$

　　$$dp[j][i] = p_j * dp[j + 1][i] + (1 - p_j) * dp[i][j] + 1$$

　　代入后得：

　　$$dp[i][j] = frac{p_i * dp[i + 1][j] + (1 - p_i) * (p_j * dp[j + 1][i] + 1) + 1}{p_i + p_j - p_i * p_j}$$

　　可以通过先计算 i + j 大的数来计算整个dp数组。

代码如下：

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define INIT() std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)

#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 
#define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
 
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

#define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second
 
template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
    in >> p.first >> p.second;
    return in;
}
 
template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
    for (auto &x: v)
        in >> x;
    return in;
}
 
template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
    out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "
";
    return out;
}

inline int gc(){
    static const int BUF = 1e7;
    static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
    
    if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
    return *bg++;
} 

inline int ri(){
    int x = 0, f = 1, c = gc();
    for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc());
    for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
    return x*f;
}
 
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef set< int > SI;
typedef vector< int > VI;
typedef vector< LL > VL;
typedef vector< VL > VVL;
typedef map< int, int > MII;
const double EPS = 1e-10;
const int inf = 1e9 + 9;
const LL mod = 1e8 + 7;
const int maxN = 1e5 + 7;
const LL ONE = 1;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555;

int T;
int n;
double p[307];
// dp[i][j]表示当前两个账号分别是i,j级，并且下一场比赛使用i级的账户参赛，达到n级仍需要的参赛次数的期望 
double dp[307][307];

int main(){
    //INIT();
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        Rep(i, n) scanf("%lf", &p[i]);
        
        Rep(i, n + 1) {
            dp[i][n] = 0;
            dp[n][i] = 0;
        }
        
        // 枚举 i + j 
        rFor(k, 2 * n - 2, 0) {
            int tmp = k - n + 1;
            if(tmp < 0) tmp = 0;
            For(i, tmp, n - 1) {
                int j = k - i;
                if(j < 0) break;
                dp[i][j] = (p[i] * dp[i + 1][j] + (1 - p[i]) * (p[j] * dp[j + 1][i] + 1) + 1) / (p[i] + p[j] - p[i] * p[j]);
            }
        }
        printf("%.4f
", dp[0][0] + EPS);
    }
    return 0;
}