UVALive 7040 Color

题目链接：LA-7040

题意为用m种颜色给n个格子染色。问正好使用k种颜色的方案有多少。

首先很容易想到的是( k * (k-1)^{n-1})，这个算出来的是使用小于等于k种颜色给n个方格染色的方案数。

我们希望求得的是使用正好k种颜色给n个方格染色的方案数，简单的想法是，直接减去小于等于k-1种颜色的方案数。

但是，要计算使用小于等于k-1种颜色染色的方案数，不能直接减去(C_{k}^{k-1} * (k-1) * (k-2)^{n-1})，原因是会有重复的部分。

我们用(S_{k})表示使用小于等于k种颜色给n个格子染色的方案数。

则我们希望求出的答案可以用(C_m^k * (S_k- igcup _{i=1} ^ {C_k^{k-1}} S_{k-1}))来表示。

于是问题变成了求( igcup _{i=1} ^ {C_k^{k-1}} S_{k-1})，因为有重复，自然而然的我们想到容斥原理。

仔细思考后（或者列表格），发现所有(S_{k-1})两两相交的并等于(S_{k-2})，所有(S_{k-1})三三相交的并等于(S_{k-3})，以此类推，减加减加即可。

代码如下：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MAXK=1000000;
const LL MOD=1e9+7;

LL CM[MAXK+10],CK[MAXK+10],inv[MAXK+10];
LL extgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    LL d=a;
    if(b!=0)
    {
        d=extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    else { x=1; y=0; }
    return d;
}
//快速幂
//求x^n%mod
LL powMod(LL x,LL n,LL mod)
{
    LL res=1;
    while(n>0)
    {
        if(n&1) res=res*x % mod;
        x=x*x % mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
//求逆元
//a和ｍ应该互质
LL modInverse(LL a,LL m)
{
    LL x,y;
    extgcd(a,m,x,y);
    return (m+x%m)%m;
}
LL n,m,k;
void init()
{
    CM[0]=1;
    for(LL i=0;i<=k-1;i++)
        CM[i+1]=CM[i]*(m-i) %MOD *inv[i+1] % MOD;
    CK[0]=1;
    for(LL i=0;i<=k-1;i++)
        CK[i+1]=CK[i]*(k-i) %MOD *inv[i+1] % MOD;
}
LL f(LL n,LL k)
{
    LL ans = 0;
    LL flag=1;
    for(LL i=k;i>=1;i--)
    {
        ans = (flag * CK[i] % MOD * i % MOD * powMod(i-1,n-1,MOD) % MOD +ans + MOD ) % MOD;
        flag*=-1;
    }
    ans = ans*CM[k]%MOD;
    return ans;
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    // freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    for(LL i=1;i<=MAXK;i++) inv[i]=modInverse(i,MOD);
    LL t;
    scanf("%lld",&t);
    for(LL tt=1;tt<=t;tt++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        init();
        printf("Case #%lld: %lld
",tt,f(n,k)%MOD);
    }
    return 0;
}