博士之时 [分类讨论, 计数]

$博士之时$

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$color{red}{正解部分}$

由于

• $0 le M_1, M_2 le frac{N}{2}$
• 两个点之间至多有 $1$ 条 相同的边
• 每个点至多链出 $1$ 条 同种边

因此每个点最多向外链出 $2$ 条 不同的边, 进而得出 图中仅有 偶环 或 链, 且是 $0,1$ 相间的 .

接下来 分类讨论:

• $偶环$: 旋转同构 + 对称同构 = $frac{n}{2} + frac{n}{2} = n$ .
• $0,1$ 奇链: 仅正向编号 合法, 贡献为 $1$ .
• $1,1$ 偶链: 以中间的边为对称轴翻转, 正向编号, 反向编号 合法, 贡献为 $2$ .
• $0, 0$ 偶链: 同上 .

又因为完全相同的 链 或 环 可以任意排列,

$于是答案为$

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$color{red}{实现部分}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e6 + 10;

int N;
int M1;
int M2;
int num0;
int du[maxn];
int fac[maxn];
int head[maxn];
int cnt_1[maxn];
int cnt_3[maxn];
int cnt_2[2][maxn];

bool vis[maxn];

struct Edge{ int nxt, to, w; } edge[maxn << 1];

void Add(int from, int to, int w){ edge[++ num0] = (Edge){ head[from], to, w }; head[from] = num0; }

int Ksm(int a, int b){
        int s = 1;
        while(b){
                if(b & 1) s = 1ll*s*a % mod;
                a = 1ll*a*a % mod; b >>= 1;
        }
        return s;
}

int main(){
        read();
        N = read(), M1 = read(), M2 = read();
        fac[0] = 1; for(reg int i = 1; i <= N; i ++) fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i % mod;
        for(reg int i = 1; i <= M1; i ++){
                int u = read(), v = read();
                Add(u, v, 0), Add(v, u, 0);
                du[u] ++, du[v] ++;
        }
        for(reg int i = 1; i <= M2; i ++){
                int u = read(), v = read();
                Add(u, v, 1), Add(v, u, 1);
                du[v] ++, du[u] ++;
        }
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                if(!vis[i] && du[i] == 1){
                        int x = i, s = 0;
                        while(!vis[x]){
                                vis[x] = 1, s ++;
                                for(reg int j = head[x]; j; j = edge[j].nxt)
                                        if(!vis[edge[j].to]) x = edge[j].to;
                        }
                        if(s & 1) cnt_1[s] ++;
                        else cnt_2[edge[head[i]].w][s] ++;
                }
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                if(!vis[i]){
                        int x = i, s = 0;
                        while(!vis[x]){
                                vis[x] = 1, s ++;
                                for(reg int j = head[x]; j; j = edge[j].nxt)
                                        if(!vis[edge[j].to]) x = edge[j].to;
                        }
                        cnt_3[s] ++;
                }
        int Ans = 1;
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++){
                if(cnt_1[i]) Ans = 1ll*Ans*fac[cnt_1[i]] % mod;
                if(cnt_3[i]) Ans = 1ll*Ans*Ksm(i, cnt_3[i])%mod*fac[cnt_3[i]]%mod;
                if(cnt_2[0][i]) Ans = 1ll*Ans*Ksm(2, cnt_2[0][i])%mod*fac[cnt_2[0][i]]%mod;
                if(cnt_2[1][i]) Ans = 1ll*Ans*Ksm(2, cnt_2[1][i])%mod*fac[cnt_2[1][i]]%mod;
        }
        Ans = (fac[N] - Ans + mod) % mod; printf("%d
", Ans);
        return 0;
}