D 和 V 的博弈游戏 [思维题]

$D 和 V 的博弈游戏$

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$mathcal{Description}$

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$mathcal{Solution}$

前言: 这道题目状态的转移及代码的实现都较为简单, 但是证明过程却并不是那么轻松… 也许是我太蒻了吧

这里先给出实现核心,具体可以先看后面详解.

$设 max\_v[i], min\_v[i] 表示 i 为根的子树, David,Van所能取得的各自的最优值.$
$注: max\_v[i]表示在 i 子树中David能取到第max\_v[i]大的数,表排名.$

对给出的树执行 $DFS$, 设当前节点为 $i$, $to ∈ son[i]$,
叶子节点 初值 $max\_v[i]=min\_v[i]=1,$

1. $i 为David点$,
   $max\_v[i] = max(max\_v[to])$
   $min\_v[i] =sum_{to ∈ son[i]} min\_v[to]$
   
2. $i 为Van点$,
   $max\_v[i] =sum_{to ∈ son[i]} max\_v[to]$
   $min\_v[i] = min(min\_v[to])$
   

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$接下来是详细的解答过程 :$

$如图1-1$, 重点说明当前节点为$Van$时如何操作,

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$mathcal{I.} 情况 :$ $子树仅包括叶子节点$
首先要明确: $color{red}{从树上任意节点出发向下,最后必定到达 子节点全部是叶子 的节点}.$
也就是图中画 $color{red}{红框}$ 的子树.
这个情况保证了 递归边界 的存在.
此时直接 $max\_v[i]=min\_v[i]=1$ 即可, 对应上方的 初始化

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$mathcal{II.} 情况 :$ $子树包括一个叶子节点和一个 D 节点$
设该叶子节点的值为 $t$, 最后取得 $res$, 考虑 $Van$ 如何走,

1. 若 $t=max$, 则 $Van$ 必定会走 $D$ 节点, $res=max_次$.
2. 若 $t=max_次$, 此时 $D$ 节点子树可以取得 $max$ 值, 则 $Van$ 会往 $t$ 走, $res=max_次$
3. 若 $t=mid$, 此时 $res=mid$.

根据列举的三种情况, 发现 若不将 $t$ 的值置为 $max$, 则答案不会更优.
扩展到多个 叶子节点, 同理可得 红色字体成立.

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$mathcal{III.} 情况 :$ $子树包括两个 D 节点$
若 $Van$ 走了红节点, 必定是因为 走绿节点会使得 $res$ 更大,
又因为绿节点中取得最大值 $max\_t$ 时, 需要 $max\_t-1$ 个结点将其 $color{red}{"垫上去"}$.
这也就说明了绿节点中所有的数值 比 红节点中 最大数值 要大,
进而说明 红节点 取得的最大数值在这颗子树中的排名为 $max\_v[绿]+max\_v[红]$.

推广到含多个 $D$ 节点的情况, 可以得出结论: $max\_v[i] =sum_{to ∈ son[i]} max\_v[to]$ ,
也就是上方的式子.

如果仔细观察, 可以发现 $情况mathcal{II.}$ 与 $情况mathcal{III.}$ 是可以看做同一类的,
因此简化转移的式子.

$David$ 节点的处理方式与 $Van$ 的具有对称性, 这里不再赘述.

$END$.

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$mathcal{Code}$