P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物 [FFT]

P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物

题目描述

给出两个数列$x, y$, 长度都为$N$;
定义差异值为

$sum_{i=1}^N(x_i-y_i)^2$

可以将任意数列加上任意自然数$d$, 求最小差异值

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数据范围

30%的数据满足$n≤500, m≤10$
70%的数据满足$n≤5000$
100%的数据满足$1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m$

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Solution

假设将其中一个加上 $b$
$b ∈ [-m, m]$
则差异值为
$sum_{i=1}^N (x_i+b-y_i)^2$
拆开得到
$sum_{i=1}^N (x_i^2+b^2+y_i^2+2bx_i-2x_iy_i-2by_i)$
化简
$sum_{i=1}^N x_i^2 + sum_{i=1}^N y_i^2 + 2bsum_{i=1}^N (x_i-y_i) + Nb^2 -2sum_{i=1}^N x_iy_i$
由于可以改变项链装饰物顺序, 所以 $sum_{i=1}^N x_iy_i$ 不确定值
于是可以考虑枚举$x$数列的所有旋转能够得到的顺序, $b$的值, 再去计算答案
复杂度 $O(N^2M)$

70 $30$ pts get .
继续思考怎么优化

思考 .
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思考.

发现最后一项是可以$O(N^2)$预处理的,
于是 $70$ pts get.
继续思考怎么优化

思考.
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发现最后一项 : $sum_{i=1}^N x_iy_i$

反转$y$数列,
可以变成卷积的形式 : $sum_{i=1}^N x_iy_{n-i+1}$

即可用 $FFT$ 求出多项式 $A$ :

$A_i = sum_{j=1}^i x_jy_{n-j+1}$
又想到序列环是可以旋转的, 于是 宣布这道题无解
因为已经拆开了环, 即将$y$数列的长度延长为原来的2倍
若没有延长, 多项式最高次幂为$A_{n+1}$ , 是由$x_iy_{n-i+1}$, $i ∈ [1, N]$ 得到的
可以想到$A_{n+2}$是有由$x_iy_{n-i+2}$ , $i ∈ [1, N]$ 得到的
进而 $A_{n+k}$是有由 $x_iy_{n-i+1+k}$ , $i ∈ [1, N]$ 得到的
于是得出结论, $A_{n+k}$表示旋转$k$次后的$sum_{i=1}^N x_iy_{n-i+1}$
AC思路 :将y数组反转, 并且x延长1倍, 计算卷积, 最后直接计算取最优值即可

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Addition

注意精度问题, double转long long需要 -exp

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Code

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const double Pi = acos(-1);
const int maxn = 1e6 + 10;

typedef long long ll;
int N, M, Len;
int rev[maxn];

struct Complex{
        double x, y;
        Complex(double x=0, double y=0):x(x), y(y) {}
} A[maxn], B[maxn];

Complex operator + (Complex a, Complex b){ return Complex(a.x+b.x, a.y+b.y); }
Complex operator - (Complex a, Complex b){ return Complex(a.x-b.x, a.y-b.y); }
Complex operator * (Complex a, Complex b){ return Complex(a.x*b.x-a.y*b.y, b.x*a.y+a.x*b.y); }

void FFT(Complex *F, int opt){
        for(reg int i = 0; i < Len; i ++)
                if(i < rev[i]) std::swap(F[i], F[rev[i]]);
        for(reg int p = 2; p <= Len; p <<= 1){
                int l = p >> 1;
                Complex delt(cos(Pi/l), opt*sin(Pi/l));
                for(reg int i = 0; i < Len; i += p){
                        Complex w(1.0, 0.0);
                        for(reg int k = i; k < i + l; k ++){
                                Complex Temp = F[k+l] * w;
                                F[k+l] = F[k] - Temp;
                                F[k] = F[k] + Temp;
                                w = w * delt;
                        }
                }
        }
}

int main(){
        scanf("%d%d", &N, &M);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) scanf("%lf", &A[i].x), A[i+N] = A[i];
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) scanf("%lf", &B[i].x);
        ll base = 0, base2 = 0;
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) base += 1ll*A[i].x*A[i].x + 1ll*B[i].x*B[i].x;
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) base2 += A[i].x-B[i].x;
        for(reg int i = 1; i <= N>>1; i ++) std::swap(B[i], B[N-i+1]);
        int bit_num = 0; Len = 1;
        while(Len <= (N<<2)) Len <<= 1, bit_num ++;
        for(reg int i = 0; i <= Len; i ++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1) << bit_num-1);
        FFT(A, 1), FFT(B, 1);
        for(reg int i = 0; i <= Len; i ++) A[i] = A[i] * B[i];
        FFT(A, -1);
        for(reg int i = 0; i <= Len; i ++) A[i].x /= Len*1.0;
        ll Ans = 999999999999999999;
        for(reg int i = N+1; i <= N<<1; i ++)
                for(reg int b = -M; b <= M; b ++){
                        ll Temp = base + base2*2*b + 1ll*N*b*b - 2ll*(A[i].x-0.02);
                        Ans = std::min(Ans, Temp);
                }
        printf("%lld
", Ans);
        return 0;
}