noip2015 子串

P2679 子串

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• 题目提供者2014白永忻
• 标签动态规划字符串NOIp提高组2015
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题目背景

无

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重

叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出 的位置不同也认为是不同的方案。

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为 substring.in。

第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问

题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。 第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。 第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。

输出格式：

输出文件名为 substring.out。 输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求[b]输出答案对 1,000,000,007 取模的结果。[/b]

输入输出样例

输入样例#1：

6 3 1 
aabaab 
aab

输出样例#1：

2

输入样例#2：

6 3 2 
aabaab 
aab

输出样例#2：

7

输入样例#3：

6 3 3 
aabaab 
aab

输出样例#3：

7

说明

对于第 1 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=1;

对于第 2 组至第 3 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=2; 对于第 4 组至第 5 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=m; 对于第 1 组至第 7 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m; 对于第 1 组至第 9 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m; 对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。

分析：比较怕数论，dp,高精度和字符串，来一个就觉得比较难，来两个做不出来了......而网上的题解又比较少.

很明显，这是一道dp题，然后来想想怎么表示状态,对答案有影响的就是A串的第i个字符，B串的第j个字符，和k个子串,简单来说就是和选取的字符和子串的数量有关.那么设f[i][j][kk]表示在A串的前i个字符中选kk个子串匹配B串的前j个字符的方案数.求方案数可以采用加法原理，考虑A串的第i个字符,那么这个字符的决策只有取或不取，很明显，加法原理，把不取的方案数和取的方案数加起来就可以，但是状态的定义并不能看出这个字符到底取不取，或者说并不能推出结果来，怎么办呢？

那么就用一个数组s[i][j][kk]来表示在A串的前i个字符中选kk个子串匹配B串的前j个字符的方案数，A串的第i个字符会被取到.那么这个s数组该怎么推出来呢？可以发现，如果取第i个字符也有2种可能，因为kk是一定的，第i个字符可能和第i-1个字符合并成一个子串，那么从s[i-1][j][kk]转移过来，也可能不和第i-1个字符合并成一个子串，那么就要新开一个子串，故kk一定从kk-1转移过来，根据加法原理，那么s[i][j][kk] = s[i-1][j-1][kk] + f[i-1][j-1][kk-1].

还有一个问题，f数组该怎么推呢？根据之前分析的，把不取和取的加上来即可,即f[i][j][kk] = s[i][j][kk] + f[i-1][j][kk],其实可以发现，f数组就相当于前缀和数组.

还有一个问题：这是一个三维的状态转移方程！空间不一定开的下，再看数据范围，这绝对MLE,怎么办?注意到i只能从i或i-1转移过来，可以想到滚动数组，滚动数组有一个比较好些的写法就是把第一维全部加上&1,或者干脆弄两个变量处理完一组数据就交换即可.

本蒟蒻水平很低，如果神犇发现了错误，望指出QAQ

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n, m, k;

long long f[2][205][205], s[2][205][205];
char a[1005], b[205];
const int mod = 1000000007;

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    scanf("%s", a + 1);
    scanf("%s", b + 1);
    int now = 1, last = 0;
    f[0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[now][0][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            for (int kk = 1; kk <= k; kk++)
            {
                if (a[i] == b[j])
                    s[now][j][kk] = (s[last][j - 1][kk] + f[last][j - 1][kk - 1]) % mod;
                else
                    s[now][j][kk] = 0;
                f[now][j][kk] = (f[last][j][kk] + s[now][j][kk]) % mod;
            }
        swap(now, last); //一定要变，否则就是一直自己跟自己转移.
    }
    printf("%lld
", f[last][m][k]);

    return 0;
}