容斥原理

容斥原理简介(很无耻的把ysy神犇讲课的课件摘抄下来了)：

记f(S)表示满足集合S中至少一个条件的方案数，g(S)表示满足集合S中所有条件的方案数。
f(S)=Σ(-1)^(|T|-1)*g(T)，其中T为S的非空子集。
通俗地说就是先把满足一个条件的都加上，这时候满足两个条件的被加了两次，所以要减掉一次，然后满足三个条件的被减成0次了，要加上一次…...
还有另一种形式。
记h(S)表示不满足集合S中所有条件的方案数。
g(S)=Σ(-1)^|T|*h(T)，其中T为S的子集。
通俗地说就是先加上所有方案，然后扣掉不满足一个条件的方案，这时候不满足两个条件的被扣了两次，所以要加上一次，然后不满足三个条件的被加回1次了，所以要扣掉一次……

 应用:

1.对一个n*m的棋盘染色，每格可以是黑色或白色。
要求每行每列都有黑格。
求方案数对10^9+7取模的结果。
n,m<=10^3。

分析：套用上面的，题目要求的是满足“每行每列”,也就是相当于求g(S)嘛！"所有条件",也就是第二种容斥原理。既然要求不满足题意的行和列，即h(T),

枚举行数i,列数j,选出i行j列的方案数就是C(n,i) * C(m,j),那么我们怎么知道这i行j列全选白格的方案数呢？我们考虑没有被选上的n-i行，m-j列，这些行和列可以随意的选黑或者选白，也就是说方案数为2^(n-i)(m-j),根据容斥原理，答案为.

2.对一个n*m的棋盘染色，每格可以是黑色或白色。
要求存在一行或一列都是黑格。
求方案数对10^9+7取模的结果。
n,m<=10^3。

分析：其实本题和上题是互补的，我们求出f(S)即可，答案为：

3.对一个n*m的棋盘染色，每格可以是黑色或白色。
要求存在一行和一列都是黑格。
求方案数对10^9+7取模的结果。
n,m<=10^3。

分析：这个题和上一题不同，或字变成了和字，先对A用容斥原理，答案变为*有i行都是黑格且满足B的方案数，再对B用容斥原理，答案变为有i行j列都是黑格的方案数。化简一下.

总结：求满足至少一个条件的就用第一条容斥原理，满足所有条件的就用第二条容斥原理。

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