Hdu2065 红色病毒问题

"红色病毒"问题

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Problem Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

 

Input

每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.

 

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

 

Sample Input

4 1 4 20 11 3 14 24 6 0

 

Sample Output

Case 1: 2 Case 2: 72 Case 3: 32 Case 4: 0 Case 1: 56 Case 2: 72 Case 3: 56

 

Author

Rabbit

 

Source

RPG专场练习赛

 

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分析：一道比较神的母函数的题.因为每个数可以重复出现，那么就要用到指数型母函数.

G(x) = (1 + x^2/2! + x^4/4! +...)^2 * (1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...)^2.用Taylor展开处理一下可以得到：

G(x) = ((e^x + e^-x)/2)^2 * e^(2x) = ((e^(2x) + 1) / 2)^2 = (e^(4x) + 2*e^(2x) + 1)/4

= (Σ4^n*x^n/n!(0 ≤ n ＜正无穷) + 2*Σ2^n*x^n/n!(0 ≤ n ＜正无穷) + 1)/4

= 1 + Σ(4^n + 2*2^n)/4 * x^n/n! (1 ≤ n ＜正无穷)

事实上就是把Σ中的n从0开始变成了从1开始.

那么a^n = (4^n + 2*2^n) / 4 % 100.

然后就会惊奇地发现4在模100意义下不存在逆元.

但是没关系，既然有模数，那么肯定存在循环节，打个表，可以发现循环节是20，那么预处理出1~20的答案就可以了.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int mod = 100;

ll T, n, ans[100], cas;

void init()
{
    ll a1 = 1, a2 = 1;
    for (int i = 1; i <= 24; i++)
    {
        if (i != 1)
            a1 = (a1 * 2) % mod, a2 = (a2 * 4) % mod;
        ans[i] = (a1 + a2) % 100;
    }
}

int main()
{
    init();
    while (scanf("%lld", &T) && T)
    {
        cas = 0;
        while (T--)
        {
            ++cas;
            scanf("%lld", &n);
            if (n >= 4)
            {
                n %= 20;
                if (n < 4)
                    n += 20;
            }
            printf("Case %lld: %lld
", cas,ans[n]);
        }
        printf("
");
    }

    return 0;
}