bzoj1010 [HNOI2008]玩具装箱toy

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 12173 Solved: 5227
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

分析：这道题利用决策单调性和斜率优化都能做.说一下决策单调性.

　　　很容易写出状态转移方程：

，仔细瞅瞅，这不是一个经典模型吗？

，只是i变成了i+1.

　　　这个模型有什么特殊的地方呢？如果它满足

，那么就可以利用决策单调性优化成O(nlogn)的复杂度了. 怎么证明本题是否满足呢？作差法强行化简，这个式子是成立的.

　　　如果是这样的，对于每一个位置标一个数字，表示它是从哪一个地方转移而来的，可能长这样：

，或者这样：

，但绝对不会这样：

也就是说它是一段段连续的区间，并且数字是递增的.

　　　那么我们的做法就很明显了：维护一个栈，每次加进来一个点时，更新它后面的点决策的位置.

　　　怎么更新？假设我们新加进来的点是3，对应第一个图，如果在老决策2的起点处决策没有3优，那么就把2的区间给并到3的区间上，如图2.否则就二分这个分界点，变成图1的样子.

　　　每个点只会出栈一次，均摊时间O(1),有二分查找，复杂度O(logn),总体复杂度O(nlogn).　　

　　　代码写起来还是有点麻烦的.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 60010;
struct node
{
    int l,r,p;
} e[maxn];

ll n,L,c[maxn],sum[maxn],f[maxn],tot;

ll cal(ll x,ll y)
{
    ll temp = y - x - 1 + sum[y] - sum[x] - L;
    return temp * temp;
}

ll get(ll x,ll y)
{
        return f[x] + cal(x,y);
}

ll find(node temp,ll pos)
{
    ll l = temp.l,r = temp.r,ans = temp.r + 1;
    while (l <= r)
    {
        ll mid = (l + r) >> 1;
        if (get(pos,mid) < get(temp.p,mid))
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else
            l = mid + 1;
    }
    return ans;
}

void solve()
{
    f[1] = (c[1] - L) * (c[1] - L);
    node temp;
    temp.l = 1;
    temp.r = n;
    temp.p = 0;
    e[++tot] = temp;
    int cur = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (e[cur].r < i)
            cur++;
        f[i] = get(e[cur].p,i);
        while (1)
        {
            node temp = e[tot];
            if (get(i,temp.r) < get(temp.p,temp.r))
            {
                if (get(i,temp.l) < get(temp.p,temp.l))
                {
                    tot--;
                    continue;
                }
                else
                {
                    int x = find(temp,i);
                    e[tot].r = x - 1;
                    break;
                }
            }
            else
                break;
        }
        if(e[tot].r < n)
        {
            node temp;
            temp.l = e[tot].r + 1;
            temp.r = n;
            temp.p = i;
            e[++tot] = temp;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&L);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld",&c[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        sum[i] = sum[i - 1] + c[i];
    solve();
    printf("%lld
",f[n]);

    return 0;
}