欧拉函数

欧拉函数的定义：1到N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记做F(N)。

若N=p₁^c₁*p₂^c₂*.........*p_m^c_m。(p_i为质数)

那F(N)=N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*.......*(p_m-1)/p_m

证明：设p是N的质因子，1到N中p的倍数有p,2*p,3*p,......(N/p)*p,一共N/p个。同理，

　　如果q也是N的质因子，那1到N中q的倍数也有N/q个。如果把N/p+N/q个数去掉，那

　　根据容斥原理可知，p*q的倍数被排除了两次，需要加回来一次，所以1到N中不与N

　　含有共同质因子p或q的数的个数为：

          　　N-(N/p)-(N/q)+N/(p*q)=N*(1-1/p-1/q+1/(p*q))=N*(1-1/p)*(1-1/q)；

根据欧拉函数的计算式，我们只需要分解质因数便可求出欧拉函数。

int phi(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
    {
        if(n%i==0)//i是素数
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

关于欧拉函数的一些性质：

　　对于所有的n>1,1到n中与n互质的数的和为n*F(n)/2；

　　如果a,b互质，则F(a*b)=F(a)*F(b)；

　　设p为质数，如果n%p==0&&n%(p*p)==0，那么F(n)=F(n/p)*p；

　　设p为质数，如果n%p==0&&n%(p*p)!=0，那么F(n)=F(n/p)*(p-1)；

求2到n中每个数的欧拉函数：

　　可以利用素筛并按照欧拉函数的计算式，可以在O(N*log^N)的时间内求出2到n中每个数的欧拉函数。

void euler(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
        phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(phi[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
}

　　利用线性筛和欧拉函数的一些性质可以在O（N）的时间复杂度内求出2到n里的欧拉函数。

int v[maxn],prime[maxn],phi[maxn];
void euler(int n)
{
    memset(v,0,sizeof(v));//最小质因子
    m=0;//质数的数量
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i]==0)//i是质数
        {
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        //给当前的数i乘上一个质因子
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i)
                break;
            //prime[j]是合数i*prime[j]的最小质因子
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j])
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
        }
    }
}