P3193 [HNOI2008]GT考试(kmp自动机+dp+矩阵加速)

题目传送门（luogu）

看到计数，容易想到dp。

像这种字符串匹配有关的dp一般都有一维是自动机上的状态（套路）。因为要构建长度为n的准考证号所以还有一维长度。

这样我们就知道了子状态：$dp[i][j]$代表长度为i的准考证号与不吉利数字匹配长度为j的方案数。

很容易想到转移方程：$dp[i][j]=sum_{k=0}^{m-1}dp[i-1][k] imes g[k][j]$。其中$g[k][j]$代表加一个字符从状态k到状态j的方案数。

先来看怎么求这个g，这就要用到kmp自动机。

枚举第一个状态i，然后再枚举在后面加的字符c，如果kmp自动机已经建出来了则可以知道加一个字符可以从i到j，令$g[i][j]++$。

ch[0][s[1] - '0'] = 1;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
    for (char k = '0'; k <= '9'; ++k) {
        if (k == s[i + 1]) ch[i][k - '0'] = i + 1;
        else ch[i][k - '0'] = ch[nxt[i]][k - '0'];
        g.arr[i][ch[i][k - '0']]++;
    }
}

如果暴力去跑刚才的dp的复杂度是$O(nm^2)$的，肯定会炸。

我们发现每次转移都只和i-1和g有关，而g有是不变的，所以可以用矩阵加速转移。

/*
dp[i][j]=dp[i-1][k] * g[k][j]
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Matrix{
    int arr[21][21], size;
}g, dp;
int n, m, mod;
char s[21];
int nxt[21];
int ans;
int ch[21][10];
void init(Matrix &ret, int size) {
    ret.size = size;
    for (int i = 0; i <= size; i++) {
        for (int j = 0; j <= size; j++) {
            ret.arr[i][j] = 0;
        }
    }
}
Matrix Mul(Matrix A, Matrix B) {
    Matrix C;
    init(C, A.size);
    for (int i = 0; i <= A.size; i++) {
        for (int j = 0; j <= A.size; j++) {
            for (int k = 0; k <= A.size; k++) {
                C.arr[i][j] = (C.arr[i][j] + (A.arr[i][k] * B.arr[k][j]) % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return C;
}
Matrix ksm(Matrix A, int b) {
    Matrix ret;
    init(ret, A.size);
    for (int i = 0; i <= ret.size; i++) ret.arr[i][i] = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ret = Mul(ret, A);
        A = Mul(A, A);
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &mod);
    scanf("%s", s + 1);
    for (int i = 2, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
        if (s[j + 1] == s[i]) j++;
        nxt[i] = j;
    }
    init(g, m - 1);
    ch[0][s[1] - '0'] = 1;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        for (char k = '0'; k <= '9'; ++k) {
            else ch[i][k - '0'] = ch[nxt[i]][k - '0'];
            g.arr[i][ch[i][k - '0']]++;
        }
    }
    
    init(dp, m - 1);
    dp.arr[0][0] = 1;
    dp = Mul(dp, ksm(g, n));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        ans = (ans + dp.arr[0][i]) % mod;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}