BZOJ1146: [CTSC2008]网络管理Network

题意

树链上带修改第K大

思路

树链剖分+线段树套平衡树+二分

具体就是先树剖把树映射到区间，然后对区间建线段树，线段树的每一个节点是一颗权值平衡树，修改就是在线段树上跑一遍，对于经过的线段树节点，其实就是平衡树，做一次删除和一次添加。查询就是二分最终的答案ans，然后计算链上大于ans的节点有多少，这一计算只需要在线段树上跑一遍，对于经过的线段树节点计算对应的平衡树里有多少大于ans的节点再加起来就可以了。

二分一个(logn)，跑树链一个(logn)，跑线段树一个(logn)，查询平衡树一个(logn)，一共(O(mlog^4n))。我的代码跑了将近46s

树链剖分+树状数组套主席树

类似query on a tree，借助lca的性质来维护树链信息，然后由于带修改，所以在外套一个树状数组来处理修改。每次询问需要对(logn)颗主席树进行修改，一次修改(logn)，一共(O(mlog^2n))。

WA到自闭，对着空气改了半天，最后发现是数组开小了

跑了大概8s

整体二分

emmm，好像也没有多难，就是整体二分的板子改改。。。

跑了4s

AC代码：线段树套平衡树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=4e5+5;
const int INF=1e9+7;

inline int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x<<3) + (x<<1) + ch - 48; ch = getchar(); }
    return x * f;
}



struct Treap{
	const static int N=maxn<<2;
	int L[N],R[N],v[N],p[N],A[N],C[N],tot;
	
	void init(){A[0]=L[0]=R[0]=C[0]=0;tot=1;}
	
	int newnode(int V,int P)
	{
		L[tot]=R[tot]=0;
		v[tot]=V;p[tot]=P;
		A[tot]=C[tot]=1;
		return tot++;
	}
	
	void Count(int x){C[x]=A[x]+C[L[x]]+C[R[x]];}
	
	void rotate_right(int &x)
	{
		int y=L[x];L[x]=R[y];R[y]=x;C[y]=C[x];Count(x);x=y;
	}
	
	void rotate_left(int &x)
	{
		int y=R[x];R[x]=L[y];L[y]=x;C[y]=C[x];Count(x);x=y;
	}
	
	void insert(int &x,int V,int P)
	{
		if(!x){x=newnode(V,P);return;}
		if(v[x]==V)++A[x];
		else if(V<v[x])
		{
			insert(L[x],V,P);
			if(p[x]>p[L[x]])rotate_right(x);
		}
		else
		{
			insert(R[x],V,P);
			if(p[x]>p[R[x]])rotate_left(x);
		}
		Count(x);
	}
	
	void Delete(int &x,int V)
	{
		if(!x)return;
		if(V<v[x])Delete(L[x],V);
		else if(V>v[x])Delete(R[x],V);
		else if(A[x]>1)--A[x];
		else if(!L[x] || !R[x])x=L[x]+R[x];
		else if(p[L[x]]<p[R[x]]){rotate_right(x);Delete(R[x],V);}
		else{rotate_left(x);Delete(L[x],V);}
		Count(x);
	}
	
	void del(int &x,int V){Delete(x,V);}
	void add(int &x,int V){insert(x,V,rand());}
	int getrank(int x,int V)
	{
		int ans=0;
		while(x)
		{
			if(V==v[x]){
				ans+=C[R[x]];
				break;
			}
			else if(V<v[x]){
				ans+=(C[R[x]]+A[x]);
				x=L[x];
			}
			else x=R[x];
		}
		return ans;
	}
}treap;






struct Segment_Tree{
	int rt[maxn<<2];
	
	void init(){
		memset(rt,0,sizeof(rt));
	}
	
	void update(int x,int l,int r,int pos,int preV,int V){
		treap.del(rt[x],preV);
		treap.add(rt[x],V);
		if(l==r)return;
		int mid=(l+r)/2;
		if(pos<=mid)update(x<<1,l,mid,pos,preV,V);
		else update(x<<1|1,mid+1,r,pos,preV,V);
	}
	
	int query_rank(int x,int l,int r,int L,int R,int V){
		if(L==l && R==r){
			return treap.getrank(rt[x],V);
		}
		int mid=(l+r)/2;
		if(R<=mid)return query_rank(x<<1,l,mid,L,R,V);
		else if(L>mid)return query_rank(x<<1|1,mid+1,r,L,R,V);
		else return query_rank(x<<1,l,mid,L,mid,V)+query_rank(x<<1|1,mid+1,r,mid+1,R,V);
	}
}segtree;







int w[maxn];
int n,q;

int tot,head[maxn];
struct Edge{
	int v,nxt;
}e[maxn<<1];
inline void init(){
	tot=0;
	memset(head,-1,sizeof(head));
}
inline void addedge(int u,int v){
	e[tot].v=v;e[tot].nxt=head[u];
	head[u]=tot++;
	
	e[tot].v=u;e[tot].nxt=head[v];
	head[v]=tot++;
}






int sz[maxn],son[maxn],fa[maxn],h[maxn],A[maxn],pos[maxn],top[maxn],cnt;
void dfs1(int u,int f){
	int v;
	sz[u]=1;son[u]=0;fa[u]=f;h[u]=h[f]+1;
	for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){
		v=e[i].v;
		if(v==f)continue;
		dfs1(v,u);
		sz[u]+=sz[v];
		if(sz[son[u]]<sz[v])son[u]=v;
	}
}

void dfs2(int u,int f,int k){
	int v;
	top[u]=k;
	pos[u]=++cnt;
	A[cnt]=w[u];
	if(son[u])dfs2(son[u],u,k);
	for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){
		v=e[i].v;
		if(v==f)continue;
		if(v==son[u])continue;
		dfs2(v,u,v);
	}
}

int LCA(int u,int v){
	while(top[u]!=top[v]){
		if(h[top[u]]<h[top[v]])swap(u,v);
		u=fa[top[u]];
	}
	if(h[u]>h[v])swap(u,v);
	return u;
}

int query(int u,int v,int ww){
	int ans=0;
	while(top[u]!=top[v]){
		if(h[top[u]]<h[top[v]])swap(u,v);
		ans+=segtree.query_rank(1,1,n,pos[top[u]],pos[u],ww);
		u=fa[top[u]];
	}
	if(h[u]>h[v])swap(u,v);
	ans+=segtree.query_rank(1,1,n,pos[u],pos[v],ww);
	return ans;
}










int t[maxn<<1],m;
int k[maxn],a[maxn],b[maxn];

void unik(){
	sort(t+1,t+1+m);
	m=unique(t+1,t+1+m)-(t+1);
}
int Hash(int x){
	return lower_bound(t+1,t+1+m,x)-t;
}

int solve(int u,int v,int k){
	int lca=LCA(u,v);
	int sz=h[u]+h[v]-2*h[lca]+1;
	if(sz<k)return -1;
	
	int l=1,r=m,mid,ans;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)/2;
		int rk=query(u,lca,mid)+query(v,lca,mid);
		if(w[lca]>mid)rk--;
		if(rk<=k-1){
			r=mid-1;
			ans=mid;
		}else{
			l=mid+1;
		}
	}
	return t[ans];
}

int main()
{
	n=read();q=read(); 
	init();
	int u,v,ww;
	for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=read(),t[++m]=w[i];
	for(int i=1;i<n;i++){
		u=read();v=read();
		addedge(u,v);
	}
	
	cnt=0;
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,0,1);
	
	for(int i=1;i<=q;i++){
		k[i]=read();a[i]=read();b[i]=read();
		if(k[i]==0)t[++m]=b[i];
	}
	
	unik();
	for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=Hash(w[i]);
	
	segtree.init();treap.init();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		segtree.update(1,1,n,pos[i],0,w[i]);
	
	int ans; 
	for(int i=1;i<=q;i++){
		if(k[i]==0){
			int V=Hash(b[i]);
			segtree.update(1,1,n,pos[a[i]],w[a[i]],V);
			w[a[i]]=V;
		}
		else{
			ans=solve(a[i],b[i],k[i]);
			if(ans!=-1)printf("%d
",ans);
			else printf("invalid request!
");
		}
	}
    return 0;
}

AC代码：树状数组套主席树

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=16e4+5;
const int maxn=N;
int n,m;
int w[maxn],t[maxn],vnum;

struct Query{
	int k,a,b;
}q[maxn];




int addT[maxn],anum,subT[maxn],snum;
int T[maxn],L[maxn<<7],R[maxn<<7],sum[maxn<<7],tnum;
void update(int &rt,int l,int r,int x,int d){
	if(!rt)rt=++tnum;
	sum[rt]+=d;
	if(l<r){
		int mid=(l+r)/2;
		if(x<=mid)update(L[rt],l,mid,x,d);
		else update(R[rt],mid+1,r,x,d);
	}
}
int query(int l,int r,int k){
	if(l==r)return l;
	int tmp=0;
	for(int i=1;i<=anum;i++)tmp+=sum[R[addT[i]]];
	for(int i=1;i<=snum;i++)tmp-=sum[R[subT[i]]];
	int mid=(l+r)/2;
	if(k<=tmp){
		for(int i=1;i<=anum;i++)addT[i]=R[addT[i]];
		for(int i=1;i<=snum;i++)subT[i]=R[subT[i]];
		return query(mid+1,r,k);
	}
	else{
		for(int i=1;i<=anum;i++)addT[i]=L[addT[i]];
		for(int i=1;i<=snum;i++)subT[i]=L[subT[i]];
		return query(l,mid,k-tmp);
	}
}







int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x,int val,int d){
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
		update(T[x],1,vnum,val,d);
}








int head[maxn],tot=1;
struct Edge{
	int v,nxt;
}e[maxn<<1];
void addedge(int u,int v){
	e[tot].v=v;e[tot].nxt=head[u];head[u]=tot++;
	e[tot].v=u;e[tot].nxt=head[v];head[v]=tot++;
}
int sz[maxn],son[maxn],fa[maxn],h[maxn],pos[maxn],top[maxn],low[maxn],cnt;
void dfs1(int u,int f){
	sz[u]=1;son[u]=0;fa[u]=f;h[u]=h[f]+1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;
		if(v==f)continue;
		dfs1(v,u);
		sz[u]+=sz[v];
		if(sz[son[u]]<sz[v])son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int f,int k){
	top[u]=k;pos[u]=++cnt;
	if(son[u])dfs2(son[u],u,k);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;
		if(v==f || v==son[u])continue;
		dfs2(v,u,v);
	}
	low[u]=cnt;
}
int LCA(int u,int v){
	while(top[u]!=top[v]){
		if(h[top[u]]<h[top[v]])swap(u,v);
		u=fa[top[u]];
	}
	if(h[u]>h[v])swap(u,v);
	return u; 
}




int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]),t[++vnum]=w[i];
	int u,v,k;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		scanf("%d %d",&u,&v);
		addedge(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d",&q[i].k,&q[i].a,&q[i].b);
		if(!q[i].k)t[++vnum]=q[i].b;
	}
	sort(t+1,t+1+vnum);
	vnum=unique(t+1,t+1+vnum)-(t+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=lower_bound(t+1,t+1+vnum,w[i])-t;
	for(int i=1;i<=m;i++)if(!q[i].k)q[i].b=lower_bound(t+1,t+1+vnum,q[i].b)-t;
	
	
	dfs1(1,0);dfs2(1,0,1);
	
	

	for(int i=1;i<=n;i++)add(pos[i],w[i],1),add(low[i]+1,w[i],-1);
	
	
	
	for(int i=1;i<=m;i++){
		u=q[i].a;v=q[i].b;k=q[i].k;
		if(k){
			int lca=LCA(u,v);
			if(h[u]+h[v]-h[lca]+-h[fa[lca]]<k){
				printf("invalid request!
");
				continue;
			}
			anum=snum=0;
			for(int i=pos[u];i;i-=lowbit(i))addT[++anum]=T[i];
			for(int i=pos[v];i;i-=lowbit(i))addT[++anum]=T[i];
			for(int i=pos[lca];i;i-=lowbit(i))subT[++snum]=T[i];
			for(int i=pos[fa[lca]];i;i-=lowbit(i))subT[++snum]=T[i];
			printf("%d
",t[query(1,vnum,k)]);
		}
		else{
			add(pos[u],w[u],-1);add(low[u]+1,w[u],1);
			w[u]=v;
			add(pos[u],w[u],1);add(low[u]+1,w[u],-1);
		}
	}
    return 0;
}

AC代码：整体二分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=8e4+5;
int n,q;
int w[maxn],ans[maxn];

struct Oprate{
    int id,k,a,b,val,type;
}op[maxn<<1],tmp1[maxn<<1],tmp2[maxn<<1];

struct BIT{
    int c[maxn];
    inline int lb(int x){return x&(-x);}
    inline void add(int x,int d){for(;x<=n;x+=lb(x))c[x]+=d;}
    inline int getsum(int x){int r=0;for(;x;x-=lb(x))r+=c[x];return r;}
    inline int getsum(int l,int r){return getsum(r)-getsum(l-1);}
}bit;


//graph
struct Edge{
    int v,nxt;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],tot;
void init(){
    tot=1;
    memset(head,0,sizeof(head));
}
void addedge(int u,int v){
    e[tot].v=v;e[tot].nxt=head[u];head[u]=tot++;
    e[tot].v=u;e[tot].nxt=head[v];head[v]=tot++;
}

//heavy-light
int sz[maxn],son[maxn],fa[maxn],h[maxn],pos[maxn],top[maxn],cnt;
void dfs1(int u,int f){
    sz[u]=1;son[u]=0;fa[u]=f;h[u]=h[f]+1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].v;
        if(v==f)continue;
        dfs1(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[son[u]]<sz[v])son[u]=v;
    }
}
void dfs2(int u,int f,int k){
    top[u]=k;
    pos[u]=++cnt;
    if(son[u])dfs2(son[u],u,k);
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].v;
        if(v==f || v==son[u])continue;
        dfs2(v,u,v);
    }
}
int LCA(int u,int v){
    while(top[u]!=top[v]){
        if(h[top[u]]<h[top[v]])swap(u,v);
        u=fa[top[u]];
    }
    if(h[u]>h[v])swap(u,v);
    return u;
}
int query(int u,int v){
    int res=0;
    while(top[u]!=top[v]){
        if(h[top[u]]<h[top[v]])swap(u,v);
        res+=bit.getsum(pos[top[u]],pos[u]);
        u=fa[top[u]];
    }
    if(h[u]>h[v])swap(u,v);
    res+=bit.getsum(pos[u],pos[v]);
    return res;
}


//
void solve(int l,int r,int L,int R)
{
    if(l>r || L>R)return;
    if(l==r){
        for(int i=L;i<=R;i++)
            if(op[i].type==0 && ans[op[i].id]!=-1)ans[op[i].id]=l;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1,t1=0,t2=0;
    for(int i=L;i<=R;i++){
        if(op[i].type==0){
            int tmp=query(op[i].a,op[i].b);
            if(tmp>=op[i].k)tmp2[++t2]=op[i];
            else op[i].k-=tmp,tmp1[++t1]=op[i];
        }
        else{
            if(op[i].b>mid)bit.add(pos[op[i].a],op[i].val),tmp2[++t2]=op[i];
            else tmp1[++t1]=op[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=t2;i++)if(tmp2[i].type==1 && tmp2[i].b>mid)
        bit.add(pos[tmp2[i].a],-tmp2[i].val);
    for(int i=1;i<=t1;i++)op[L+i-1]=tmp1[i];
    for(int i=1;i<=t2;i++)op[L+t1+i-1]=tmp2[i];
    solve(l,mid,L,L+t1-1); solve(mid+1,r,L+t1,R);
}

int main()
{
    // freopen("in.txt","r",stdin);
    // freopen("out.txt","w",stdout);


    int nn=0;
    scanf("%d %d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
        op[++nn]=(Oprate){0,0,i,w[i],1,1};
    }


    int u,v;
    init();
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        scanf("%d %d",&u,&v);
        addedge(u,v);
    }
    dfs1(1,0);dfs2(1,0,1);


    int k,a,b,id=0;
    for(int i=1;i<=q;i++){
        scanf("%d %d %d",&k,&a,&b);
        if(k){
            op[++nn]=(Oprate){++id,k,a,b,0,0};
            int lca=LCA(a,b);
            int len=h[a]+h[b]-h[lca]-h[fa[lca]];
            if(len<k)ans[id]=-1;
        }
        else{
            op[++nn]=(Oprate){0,k,a,w[a],-1,1};
            w[a]=b;
            op[++nn]=(Oprate){0,k,a,w[a],1,1};
        }
    }


    solve(1,1e8,1,nn);


    for(int i=1;i<=id;i++){
        if(ans[i]==-1)printf("invalid request!
");
        else printf("%d
",ans[i]);
    }
    return 0;
}