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  • 【学习总结】数学-费马小定理

    定义

    p是质数,而且gcd(a,p)=1(a,p互质),那么有
    ap11mod(p)

    证明

    准备知识
    • 剩余类:对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。
    • 简化剩余系(也叫既约剩余系):模n的值与n互质的所有剩余类中。从每一类中各任取一数所组成的数的集合,叫做模n的一个简化。也叫缩系。
    • 全然剩余系:从模n的每一个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合。叫做模n的一个全然剩余系。

    剩余系定理2:有整数a,b,c,m为正整数。且gcd(m,c)=1, 则当acbcmod(m)时,有abmod(m).

    • 证明:
      • acbcmod(m) =>
      • (ab)c0mod(m) => (由于gcd(c,m)=1,所以(ab)m的倍数)
      • (ab)0mod(m)
      • abmod(m)

    剩余系定理7:有一个整数m,且m>1,b是一个整数。且gcd(m,b)=1。假设a1,a2,,am是模m的一个全然剩余系,那么有ba1,ba2,,bam是相同是模m的一个全然剩余系。

    • 证明:
      • 若存在baibajmod(m)
      • 那么依据剩余系定理2可知,aiajmod(m)
      • 又由于aiaj同属于一个全然剩余系,所以不会有同余的情况。

    证明过程
    • 构造素数p的既定剩余系:12,p1
    • 由于gcd(a,p)=1,所以依据定理7:a2a,(p1)a也是素数p的一个既定剩余系。
    • 那么就有12(p1)12(p1)ap1modp
    • ap11mod(p)

    应用

    • 用来求amod(p)时的逆元,即ap2.

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