算法学习笔记（三） 最短路 Dijkstra 和 Floyd 算法

图论中一个经典问题就是求最短路。最为基础和最为经典的算法莫过于 Dijkstra 和 Floyd 算法，一个是贪心算法，一个是动态规划。这也是算法中的两大经典代表。用一个简单图在纸上一步一步演算，也是非常好理解的。理解透自己多默写几次就可以记住，机试时基本的工作往往就是高速构造邻接矩阵了。

对于平时的练习，一个非常厉害的 ACMer  @BenLin_BLY 说：“刷水题能够加快我们编程的速度，做经典则能够让我们触类旁通，初期假设遇见非常多编不出。最好还是就写伪代码，理思路。在纸上进行总体分析和一步步的演算，然后在转换成代码。再重复迭代”。Linus 不是也说了 "Nobody actually creates perfect code the first time around, except me. But there’s only one of me."  ^_^  对于算法的学习，绝大多数都是把问题分解变形，然后套用曾经或别人的思路。

仅仅有把经典的算法都烂熟于心时，解决这个问题时才干够做到不知不觉的套用已有的思路和经验。能让我们走的更远的仅仅有热情和方法！

当认准一件事有价值时，我们要做的就是长期坚持，既然熟练掌握经典算法这么有价值。那么接下来要做的就是重复训练直到烂熟于心 ^_^

单源最短路

给定起点 start, 求到随意点的最短路 Dijkstra 算法，前提不能有负权边和孤立点：

• 贪心算法：每次找近期的点，局部最优等于全局最优，数学归纳法可证
• 维护起点 start 到每一个点的距离
• 时间复杂度 O(n^2)
• 附加空间复杂度 O(n)

Dijkstra 算法伪代码：
Q = {}                                       // 已求出到 start 点最短路的点集合，初始为空
d[s] = 0, 其余值为正无穷大
while (|Q| < |V|)                            // 数学符号|A|表示集合A的点数
    取出不在Q中的最小的d[i]
    for (i相邻的点j，j不属于Q)
        d[j] = min(d[j], d[i] + c[i][j])     //维护距离
    Q = Q + {i}

全局最短路

求出图中随意两点最短路，利用 Floyd 算法，对负权边仍然有效：

• 动态规划：每次增加一个点
• 维护随意两点间的距离
• 时间复杂度 O（n^3）
• 附加空间复杂度 O（n^2）

Floyd 算法伪代码:        # 直接改成 Python 了。没办法就是喜欢 Python :)
for k in range(0, n):			
    for i in range(0, n):
        for j in range(0, n):            
            g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k]+g[k][j])

小实验

一个图例如以下所看到的：

源码 ( C 实现）

#include <stdio.h>
#define N 65536

/* 计算有 9 个点的图的单源最短路  */
void Dijkstra(int graph[9][9],  int start, int path[9]){
	int num=9, min, vertex, i, j;
	int flag[num];
	for(i = 0; i < num; ++i){ 	//初始化全部点都未计算，第一次距离直接读邻接矩阵
		path[i] = graph[start][i];
		flag[i] = 0;
	}

	for(i = 0; i < num; ++i){
		min = N;
		for(j = 0; j < num; ++j){
			if(flag[j] == 0 && min > path[j]){	//求未计算过的点中距离 start 近期点
				min = path[j];
				vertex = j;
			}
		}
		flag[vertex] = 1; 	//将上面计算的点标记为计算过
		for(j = 0; j < num; ++j){	//维护全部未计算过点的距离
			if(flag[j] == 0 && path[j] > path[vertex] + graph[vertex][j]){
				path[j] = path[vertex] + graph[vertex][j];
			}
		}
	}
}

/* 计算一个 9 个点的图全部点到全部点间的最短路 */
void Floyd(int graph[9][9]){
	int num = 9, i, j, k;
	for(k = 0; k < num; ++k){			//中转点
		for(i = 0; i < num; ++i){		//出发点
			for(j = 0; j < num; ++j){	//到达点
				if(graph[i][j] > graph[i][k] + graph[k][j]){
					graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j];
				}
			}
		}
	}
}

int main() {
	int graph[9][9]={
			{0, 1, 5, N, N, N, N, N, N},
			{1, 0, 3, 7, 5, N, N, N, N},
			{5, 3, 0, N, 1, 7, N, N, N},
			{N, 7, N, 0, 2, N, 3, N, N},
			{N, 5, 1, 2, 0, 3, 6, 9, N},
			{N, N, 7, N, 3, 0, N, 5, N},
			{N, N, N, 3, 6, N, 0, 2, 7},
			{N, N, N, N, 9, 5, 2, 0, 4},
			{N, N, N, N, N, N, 7, 4, 0}
	};
	int start=0, path[9], i, j;
	Dijkstra(graph, start, path);	//计算结果写入 path 数组
	printf("点 %d 到全部点的最短距离：
", start);
	for(i=0; i<9; ++i){
		printf("%d ",path[i]);
	}

	Floyd(graph); 	//计算后的结果也直接写入graph
	printf("
全部点到全部点的最短距离
");
	for(i=0; i<9; ++i){
		for(j=0; j<9; ++j){
			printf("%d ",graph[i][j]);
		}
		printf("
");
	}

	return 0;
}

/****** 执行结果 ***********
点 0 到全部点的最短距离：
0 1 4 7 5 8 10 12 16
全部点到全部点的最短距离
0 1 4 7 5 8 10 12 16
1 0 3 6 4 7 9 11 15
4 3 0 3 1 4 6 8 12
7 6 3 0 2 5 3 5 9
5 4 1 2 0 3 5 7 11
8 7 4 5 3 0 7 5 9
10 9 6 3 5 7 0 2 6
12 11 8 5 7 5 2 0 4
16 15 12 9 11 9 6 4 0
*****************************/