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  • 【百度之星2014~初赛(第二轮)解题报告】Chess

    声明

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    id=667


    前言


    近期要毕业了,有半年没做比赛了.
    这次參加百度之星娱乐一下.
    如今写一下 Chess 这道题的的解题报告.


    正文


    题意

    题意非常easy,告诉你一个矩阵。以及一个起始坐标.

    问走k步有多少个不同的路线.

    一个路线能够记为上下左右。则k步有k个上下左右,比方 "上上左左下下" 是一个路线.


    分析

    矩阵的大小是1000*1000, k = 1000, 假设使用搜索肯定不行.

    起始非常easy往矩阵幂这个方向上想,可是状态太多了。 1000*1000 个状态。行不通.

    当时我也考虑分行和列来做。可是就差那么一步就不向下想了.

    网上找了一个解题报告,这个解题报告的分析非常easy,仅仅有一句话:能够非常容易发现行和列是独立的。


    好吧!

    看到这句话我瞬间会做这道题了.


    接下来我就详细写写推算公式给大家.


    假设是暴力的话,答案应该是


    ans = sum( Count(i, j, k) );
    当中 Count(i, j, k) 代表 从(x, y) 走 k 步到 坐标(i, j) 的路径个数.


    对于 Count(i, j, k) 我们怎么求出来呢?


    如果从(x, y) 走 k 步到 坐标(i, j)时, 我们有 t 步是上下移动的。 k - t 步是左右移动的,也就是 k 步中有 t 步是上下移动的,及 C(k, t) 吧.

    于是我们能够得带这个公式了.


    Count(i, j, k) = sum(C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t) )

    当中 C(k, t) 是组合数

    Count(i, t) 代表从数轴x 仅仅上下移动走 t 步到达 数轴 i 的路线数,当然。因为是上下,有个上界n,最大行数.

    相应这 Count(j, k-t ) 代表从数轴 y 仅仅左右移动走 k - t 步 到达 j 的路线数, 上界是 m, 最大列数.


    我们把这个公式带入暴力公式能够得到


    ans = sum( C(k, t) * Count(i, t) * Count(j, k- t)  )
    当中 0<=t<=k, 1<=i<=n, 1<=j<=m.


    然后我们把 i 展开能够得到


    ans = sum(   
    C(k, t) * Count(1, t) * Count(j, k- t) 
    +C(k, t) * Count(2, t) * Count(j, k- t) 
    + ...
    +C(k, t) * Count(n, t) * Count(j, k- t) 
    )
    再提取公因式,能够得到



    ans = sum( C(k, t) * Count(j, k - t) * sum(Count(i, t)) )
    同理,能够把 j 展开



    ans = sum( 
    C(k, t) * Count(1, k - t) * sum(Count(i, t))
    +C(k, t) * Count(2, k - t) * sum(Count(i, t))
    +...
    +C(k, t) * Count(m, k - t) * sum(Count(i, t))
     )


    这个也能够提取公因式


    ans = sum(C(k, t) * sum( Count(j, k-t ) ) * sum( Count( i, t ) ))
    我们能够看到,对于 C(k, t) 是组合数,能够预处理得到.


    对于 Count(i, t) 和 Count(j, k-t ) 我们都能够使用 O(n^2) 的预处理得到.

    然后我们再使用O(n) 的预处理能够得到 sum( Count(j, k-t) ) 和 sum( Count(i, t) ).

    最后我们使用 O( k ) 的复杂度得到它们的乘积就可以.



    代码



    /*************************************************************************
      > File Name: 2.2.cpp
      > Author: tiankonguse
      > Mail: i@tiankonguse.com
      > Created Time: Mon 26 May 2014 11:31:15 AM CST
    ***********************************************************************/
    #include<cstdio>
    #include<cstdlib>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<stack>
    #include<algorithm>
    #include<functional>
    #include<stdarg.h>
    using namespace std;
    #ifdef __int64
    typedef __int64 LL;
    #else
    typedef long long LL;
    #endif
    const int N = 1111;
    int map[4]= {-2,-1,1,2};
    LL C[N][N];
    LL mod = 9999991;
    LL str[2][N][N], sum[2][N];
    
    void getC() {
    	memset(C,0,sizeof(C));
        C[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i < N; i++) {
            C[i][0] = C[i][i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; j++) {
                C[i][j] =( C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod;
            }
        }
    }
    
    void DP(LL str[N][N], LL sum[N], int x, int n, int k) {
        str[0][x] = 1;
        sum[0] = 1;
        for(int t=1; t<=k; t++) {
            for(int i=2; i<=n; i++) {
                for(int kk=0; kk<4; kk++) {
                    str[t][i] = (str[t][i] + str[t-1][i+map[kk]]) % mod;
                }
                sum[t] = (sum[t] + str[t][i]) % mod;
            }
        }
    }
    
    LL get(int k, int i) {
        return ((C[k][i] * sum[0][i] % mod) * sum[1][k-i] % mod);
    }
    
    int main() {
        getC();
        int t,n,m,k,x,y;
        LL ans;
        scanf("%d",&t);
        for(int tt=1; tt<=t; tt++) {
            scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&x,&y);
            n++,m++,x++,y++;
    		memset(str,0,sizeof(str));
    		memset(sum,0,sizeof(sum));
            DP(str[0], sum[0], x, n, k);
            DP(str[1], sum[1], y, m, k);
    
            ans = 0;
            for(int i = 0; i <= k; i++) {
                ans = (ans +   get(k, i))%mod;
            }
            printf("Case #%d:
    %lld
    ",tt,ans);
        }
    
        return 0;
    }
    


    參考

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?

    pid=4832

    http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3751404.html


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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zfyouxi/p/5246875.html
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