原根

阶

定义：设(m > 1)，且((a,m) = 1)，使得(a^r equiv 1 mod(m))成立的最小的(r)，称为(a)对模(m)的阶，记为(delta_m(a))。

定理：若(m > 1)，且((a ,m) = 1)，(a^n equiv 1 mod(m))，则(delta_m(a)|n)。

原根

定义：设(m)是正整数，(a)是整数，若(delta_m(a) = varphi(m))，则称(a)为模(m)的一个原根

定理：如果模(m)有原根，那么它一共有(varphi(varphi(m)))个原根

定理：若(g)是(m)的一个原根，则(g，g^2，……，g^{varphi(m)})各数对(m)取模的非负最小剩余就是小于(m)且与(m)互质的(varphi(m))个数的一个排列

原根存在条件

当(m = 2，4，2P^n，P^n)，这里的(P)是奇素数（除2以外的素数）,(n)是正整数

求原根的方法

从2开始枚举，然后暴力判断(g^{P - 1} equiv 1 mod(P))是否只有在指数为(P - 1)的时候成立。

bool check(int g) {
    int tp = 1;
    for (int i = 1; i < P - 1; ++i) {
        tp = 1ll * tp * g % P;
        if (tp == 1) return 0;
    }
    return false;
}
void get() {
    int g = 2;
    for (int i = 2; ; ++i) if (check(i)) {
        g = i;
        break;
    }
}

模素数求原根的方法

首先求(varphi(m))的素幂分解式：

[varphi(m) = p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*p_3^{e_3}*·····*p_k^{e_k} ]

然后枚举(g)，若恒满足

[g^{frac{varphi(m)}{p_i}} e 1 mod(m)，i = 1,2,·····,k ]

则(g)是(m)的一个原根