考虑$\mathbf{R}^n$中的单位球（一般距离）: $1\leq q \leq \infty$
\[B_q=\{(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbf{R}^n: (\sum_{i=1}^n|x_i|^q)^{1/q}\leq 1\}\]
其中$q=\infty$时, 范数为取上确界.
考虑$n=2$, $B_2$为欧氏球, $B_\infty$为边长为2的方体, $B_1$为边长是$\sqrt{2}$的菱形方体.
Fefferman的结果: $B_2$是$(p,p)$乘子当且仅当$p=2$.
在课程中, 我们知道这和球的特殊几何结构有关, 与生硬截断的光滑性无关, 因为对于$B_\infty$, 利用分离变量的性质和Hilbert变换的有界性, 我们知道:
$B_\infty$是$(p,p)$乘子当$1<p<\infty$. 利用旋转, 很容易知道: $B_1$是$(p,p)$乘子当$1<p<\infty$. 因此问题来了
问题: 是否有这样的结论: 设$1<q<\infty$, $B_q$是$(p,p)$乘子当且仅当$p=2$.
是否能把Fefferman的证明用来证明这个?
注: 这一个问题经过咨询调和分析专家Sanghyuk Lee, 他告诉我说Fefferman的证明同样适用, 事实上, 这和截断区域的边界曲线的弯曲性质有关.