数论 难

整除

(p|q~,~p mid q)

算术基本(唯一分解)定理 : (prod p_i^{c_i})

prime

埃氏筛O(nloglogn)&欧拉筛O(n)

密度： (dfrac{x}{ln(x)})

gcd & lcm

(exists x,y s.t.ax+by=gcd(a,b))

exgcd

(left{ egin{array}{lrc} ax+by=gcd(a,b)\ bx'+(a\%b)y'=gcd(b,a\%b)\a\%b=a-b*lfloorfrac ab floor\gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) end{array} ight.Rightarrowleft{egin{array}{lrc} x=y'\y=x'-y'lfloorfrac ab floor end{array} ight.)

(ax+by=c~~Rightarrow~~a(x+b/g)+b(y-a/g)=c)

同余

(aequiv b~(mod~~m))

逆

(a^{-1}~:~a*a^{-1}equiv 1~(mod~~m))
O(n) , 费马小定理 , exgcd

CRT

(left{egin{array}{cc}xequiv a_1~(mod~~m_1)\xequiv a_2~(mod~~m_2)\cdots\xequiv a_n~mod~~m_n)\end{array} ight.)

普通

(m_i)之间保证两两互质

(x=sumlimits_{i=1}^nM_ia_it_i ~(mod~~M))

ex

(m_i)之间不保证两两互质

考虑两个式子(left.egin{array}{cc}xequiv a_1(mod m_1)Leftrightarrow x=k_1m_1+a_1\x=a_2(mod m_2)Leftrightarrow x=k_2m_2+a_2end{array} ight}Rightarrow k_2m_2+(-k_1)m_1=(a_1-a_2))

exgcd

(x=k_1m_1+a_1pmod{lcm(m_1,m_2)}​)

Lucas 定理

普通

(inom nmequivinom{n/p}{m/p} imesinom{n\%p}{m\%p}pmod p​)

扩展

首先

(egin{cases}inom nmequiv a_1pmod{p_1^{k_1}}\inom nmequiv a_2pmod{p_2^{k_2}}\~~~~~~~~vdots\inom nmequiv a_cpmod{p_c^{k_c}}\end{cases})

如当(p=3,k=2,n=19)时

(egin{split}n!=&1·2cdots19\=&(1·2·4·5·7·8·10·11·13·14·16·17)·(3·6·9·12·15·18)·19\=&(1·2·4·5·7·8·10·11·13·14·16·17)·3^6(1·2·3·4·5·6)·19end{split})

可以递归进行计算。

前面一部分是以(p^k)为周期的，所以只需要计算最后不满足一个周期的数是哪些就可以了

欧拉函数

(n)以内与(n)互质的数的个数

(varphi(n)=nprodlimits_{i=1}^c(1-dfrac 1{p_i}))

证明:exCRT式合并

性质

1. 欧拉定理：对于互质的$a,m，a^{varphi(m)} equiv 1 pmod m $
2. 小于(n)且与(n)互质的数的和((nge2))：$S = n * dfrac{varphi(n)}{2} $
3. (displaystylesum_{d|n} varphi(d) = n ​)

原根

阶

设(a，p)是整数，(gcd(a,p)=1)，那么使(a^nequiv1(mod p))立的最小正整数(n)叫做(a)模(p)的阶，记做(delta_p(a))

原根

设(p)是正整数，(a)是整数，若(delta_p(a~mod~p))的阶等于(varphi(p))，则称(a)为模(p)的一个原根

BSGS

求解形如 (A^xequiv Bpmod C​) 的问题

普通

(C)是质数

设(m=lceilsqrt C ceil​),则(x=km-b​),即原式为(A^{km}equiv B*A^bpmod C​)

我们对于每一个 (b),求出等式右边的值,并存入一个hash表中

据欧拉定理，(x) 显然不超过 (m)

复杂度(O(sqrt p))

exBSGS

(gcd(A,C)) 任意

设(d=gcd(A,C),A=a*d,B=b*d,C=c*d)

注意若(d mid B)显然无解

左右同时除以(d​),即(a*A^{x-1}equiv bpmod c​)

递归，直到(d=1​)

之后(BSGS)即可

复杂度(O(sqrt nlog(n)))

积性函数

(displaystylevarphi(n)=n*prod_{i=1}^m(1-dfrac{1}{p_i})​)

(displaystylesum_{d|n} mu(d) = [n=1])

(id_k,epsilon,sigma_k)

卷积

(displaystyle f*g=sum_{d|n}f(d)g(dfrac{n}{d}))

(mu*id_0=epsilon)

(varphi*id_0=id_1)

证明：

(displaystyle{egin{aligned}&n\=&sum_{i=1}^nsum_{d|n}[gcd(i,n)=d]\=&sum_{d|n}sum_{i=1}^{frac nd}[gcd(i,frac nd)=1]\=&sum_{d|n}varphi(frac nd)\=&(id_0*varphi)(n)end{aligned}})

筛积性函数

Min_25：质因子分类

反演

(displaystyle{sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n [gcd(i,j)==d]\sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n gcd(i,j)\sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)in prime]\sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m gcd(i,j)\sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m lcm(i,j)\prod_{i=1}^nprod_{j=1}^m gcd(i,j)\prod_{i=1}^nprod_{j=1}^mdfrac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\sum_{i=1}^nsum_{i=1}^mvarphi(ij)\sum_{i=1}^nsum_{j=1}^md(ij)\sum_{i=1}^Asum_{j=1}^Bsum_{k=1}^Cd(ijk)\prod_{i=1}^Aprod_{j=1}^Bprod_{k=1}^Cleft(egin{array}{cc}dfrac{lcm(i,j)}{gcd(i,k)}end{array} ight)^{f(type)}}​)

群论

群

给定一个集合(G={a,b,c,dots})和集合(G)上的二元运算，并满足:

1. 封闭性：(forall a,bin G, exists cin G, a*b=c)

2. 结合律：(forall a,b,cin G, (a*b)*c=a*(b*c))

3. 单位元：(exists ein G,forall ain G,a*e=e*a=a)

4. 逆元：(forall ain G,exists bin G, a*b=b*a=e,)记(b=a^{-1})

则称集合G在运算(*)之下是一个群，简称G是群。

置换，置换群，循环

(Z_k) ((K)不动置换类)

设(G)是(1dots n)的置换群,若(K)是(1dots n)中某个元素,(G)中使(K)保持不变的置换的全体,记以(Z_k),叫做(G)中使(K)保持不动的置换类

(E_k)(等价类)

设(G​)是(1dots n​)的置换群,(K​)是(1dots n​)中某个元素,(K​)在(G​)作用下的轨迹，记作(E_k​),即(K​)在(G​)的作用下所能变化成的所有元素的集合

轨道-稳定核定理:

(|E_k|*|Z_k|=|G|)

(Burnside)引理

互异的组合状态的个数(displaystyle L=dfrac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}D(a_i)​)((D(a_i)​) 表示在置换(a_i​)下不变的元素的个数)

(Pacute{o}lya)定理

设G是p个对象的一个置换群，用m种颜色涂染p个对象，gi的循环节数为c(gi)，则不同染色方案为(displaystyle L=dfrac{1}{|G|}sum_{i=1}^{|G|}m^{c_i}​)

类欧几里德算法

基础

设(displaystyle f(a,b,c,n)=sum_{i=0}^nlfloordfrac{ai+b}c floor​)

1. (age c~~or~~bge c)

   (displaystyleegin{split}f(a,b,c,n)=&sum_{i=0}^nlfloordfrac{ai+b}c floor\=&sum_{i=0}^nlfloordfrac{(clfloordfrac ac floor+a\%c)i+(clfloordfrac bc floor+b\%c)}c floor\=&dfrac{n(n+1)}2lfloordfrac ac floor+(n+1)lfloordfrac bc floor+f(a\%c,b\%c,c,n)end{split})

2. (a<c,b<c)

   令(m=lfloorfrac{an+b}c floor),

   (displaystyleegin{split}f(a,b,c,n)=&sum_{i=0}^nlfloordfrac{ai+b}c floor\=&sum_{i=0}^nsum_{j=0}^{lfloorfrac{ai+b}c floor-1}1\=&sum_{j=0}^{m-1}sum_{i=0}^n[j<lfloorfrac{ai+b}c floor]end{split}\ j<lfloordfrac{ai+b}c floorLeftrightarrow j+1leqlfloordfrac{ai+b}c floorLeftrightarrow j+1<dfrac{ai+b}cLeftrightarrow jc+c-b-1<aiLeftrightarrowlfloordfrac{jc+c-b-1}a floor<i\ displaystyleegin{split}f(a,b,c,n)=&sum_{j=0}^{m-1}sum_{i=0}^n[j<lfloorfrac{ai+b}c floor]\=&sum_{j=0}^{m-1}sum_{i=0}^n[lfloordfrac{jc+c-b-1}a floor<i]\=&sum_{j=0}^{m-1}n-lfloordfrac{jc+c-b-1}a floor\=&nm-f(c,c-b-1,a,m-1)end{split}​)

   递归，(O(log n))

扩展

如 (displaystylesum_{i=0}^{n}{lfloor frac{ai+b}{c} floor}^2,sum_{i=0}^{n}ilfloor frac{ai+b}{c} floor)

加油

一般就是考虑转换条件，更改限制，递归进行