实验7投资问题

问题：

设$m$元钱，$n$项投资，函数$f[i][x]$表示将$x$元投入第i项项目所产生的效益，$i=1,2,…,n$.问：如何分配这$m$元钱，使得投资的总效益最高？

解析：

背包问题。

设$dp[i][j]$表示在前$i$个项目投入$j$元所产生的最大效益。

转移方程为：

$dp[i][j] = max( dp[i][j] , dp[i - 1][ j - k] + f[i][k] )$

对于每个项目的投资，可以记录$x[i][j]$表示对于前$i$个项目总共投资$j$元时，对项目$i$的投资。

则对每个项目的投资可以由最后一个倒推回来。

$ans[i] = x[i][m] , m -= ans[i] $

设计（核心代码）：

for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
    for (int j = 0; j <= m; ++j)
    {
        for (int k = 0; k <= j; ++k)
        {
            if (dp[i][j] < dp[i - 1][j - k] + f[i][k])
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - k] + f[i][k];
                x[i][j] = k;
            }
        }
    }
}
ans[n] = x[n][m];
int tmp_m = m - ans[n];
for (int i = n - 1; i >= 1; --i)
{
    ans[i] = x[i][tmp_m];
    tmp_m -= ans[i];
}

分析：

复杂度：$O(nm^2)$

源码：

https://github.com/Big-Kelly/Algorithm

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf = 2e9 + 7;
const ll Inf = 1e18 + 7;
const int maxn = 3e3 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

int dp[maxn][maxn];  //dp[i][j]表示前i件投j元的最大收益
int f[maxn][maxn];   //f[i][j]表示第i件投资j元的最大收益
int x[maxn][maxn];   //x[i][j]表示前i件投入j元时第i件的投资
int ans[maxn];       //表示收益最大时每个的投资

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            scanf("%d", &f[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j <= m; ++j)
        {
            for (int k = 0; k <= j; ++k)
            {
                if (dp[i][j] < dp[i - 1][j - k] + f[i][k])
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - k] + f[i][k];
                    x[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    ans[n] = x[n][m];
    int tmp_m = m - ans[n];
    for (int i = n - 1; i >= 1; --i)
    {
        ans[i] = x[i][tmp_m];
        tmp_m -= ans[i];
    }
    printf("投资的最大收益是%d元
", dp[n][m]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        printf("对第%d个项目的投资为%d元
", i, ans[i]);
    }
}