P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY(斜率优化）

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为 1cdots N1⋯N 的 NN 件玩具，第 ii 件玩具经过压缩后变成一维长度为 C_iCi​ .为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第 ii 件玩具到第 jj 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+sumlimits_{k=i}^{j}C_kx=j−i+k=i∑j​Ck​ 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 xx ,其制作费用为 (X-L)^2(X−L)2 .其中 LL 是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 LL 。但他希望费用最小.

感谢@ACの666 提供的Latex题面

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：

输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 4
3
4
2
1
4

输出样例#1： 复制

1

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#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
typedef long long ll;

ll s[600000],f[600000],q[600000];
ll n,m;

ll y(ll x)
{
    return x+s[x];
}

ll  slope(ll j, ll k)
{
    //return f[j]+(ll)(pow(y(j)+1+m,2)) - (f[k]+(ll)pow(y(k)+1+m,2)     );
    return f[j]+(ll)pow(y(j),2)+2*(1+m)*y(j) - (f[k]+(ll)pow(y(k),2)+2*(1+m)*y(k) ) ;
    
}
ll down(ll j,ll k)
{
    return (2*y(j)-2*y(k));
}



int main()
{
    while (cin>>n>>m)
    {
        for (int i=1;i<=n;i++)
        { 
            ll x;cin>>x;s[i]=s[i-1]+x;
        }
        int L=1,R=1;
        q[1]=f[0]=0; 
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            while (L<R&&slope(q[L+1],q[L])<=y(i)*down(q[L+1],q[L]))L++;
            
            int t=q[L];
            
            /*f[i]=f[t]+(ll)(pow(y(t),2))+1LL*2*(1+m)*y(t)
            -1ll*2*y(t)*y(i)+(ll)pow(y(i),2)-1ll*2*(1+m)*y(i)+1LL*(1+m)*(1+m);
            */ // 这么写就wa了，不知道为什么 
            
            f[i]=f[t]+(ll)pow(y(i)-y(t)-1-m,2);
            
            
            while(L<R&&slope(q[R],q[R-1])*down(i,q[R])>=down(q[R],q[R-1])*slope(i,q[R]))R--;

            q[++R]=i;
        }
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    
}