设正整数n的十进制表示为n=ak……a1a0(0<=ai<=9,0<=i<=k,ak!=0),n的个位为起始数字的数字的正负交错之和T（n）=a0+a1+……+（-1）kak，证明：11|n的充分必要条件是11|T（n）；(整除理论1.1.2）)

设正整数n的十进制表示为n=ak……a1a0(0<=ai<=9,0<=i<=k,ak!=0),n的个位为起始数字的数字的正负交错之和T（n）=a₀+a₁+……+（-1）^ka_k，证明：11|n的充分必要条件是11|T（n）；

证明：

由题意可得

n=（a_k*10^k）+……+（a₁*10¹）+a_0；

所以，n-T（n）=a1（10+1）+a2（10²-1）+……+a_k（10^k-（-1）^k）；

对于所有的0<=i<=k，由11|（10ⁱ-（-1）ⁱ），故上式右端k个加项中的每一项都是11的倍数，所以他们的和也被11整除；