单源最短路(Dijkstra算法)

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@Author: 张海拔

@Update: 2015-03-11

@Link: http://www.cnblogs.com/zhanghaiba/p/3514570.html

Dijkstra算法

总的来说：算法从开始节点，按照总路径权值非递减的顺序去搜索所有路径，直到发现指定的终止节点或发现全部节点为止。

——我们先看看算法的步骤： 

算法是递推的
先设d[begin] = 0, d[others] = INF
for [0, n)
1、未标记的节点中，选出当前d值最小的 (最快logn效率)
2、标记节点i
3、据节点i，若d[i] + w[i][j] < d[j]，则更新d[j]（d[j]可能变小，O(n)效率）

——我们再看看为什么这样做

循环每一步能确定以i节点为终点的最短路径（定义这种节点为：“最短路终点”）
而且很关键的一点是，这个最短路径终点的d值是最小递增或者说一定是非递减的

也就是上面说的“按照总路径权值非递减的顺序去搜索所有路径”

另外，d值的意义是：当前状态下，以该节点为终点的最短路径长度

假定A是起点，显然是A为终点的最短路径，d值是0

后续步骤中都是从已确定最短路终点集合中，递推出下一个最短路终点

想想最简单的情况
A只能到B和C和D，AB边长5，AC边长3，AD边长4
当前最短路终点集合只有A，集合一步可达的节点有B C D
它们目前的d值分别是5 3 4
把最小d值的C纳入最短路终点集合，因为它的d值无法变得更小，也就是说从当前状态往后这个节点的d值都是确定的

为什么呢？
把C纳入最短路终点集合，若CB边长是1，则会修改B的d值变为4，所以非最小值d值的节点，其d值可能会变得更小
反过来，若纳入其它任何节点到最短路终点集合，都不可能使其d值变得更小
因为不会出现 dNonMin + edge < dMin 的情况
后续情况同理类推

所以原理就是：

根据已经最短路终点集合来递推下一个最短路终点

过程使最短路终点集合一步可达的那些节点的d值不断减小

直到某节点d值无法减小，则纳入最短路终点集合

代码实现：

/*
 *Author: ZhangHaiba
 *Date: 2014-1-10
 *File: dijkstra.c
 *
 *dijkstra's algorithm demo
 */

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 512
#define INF 0x7fffffff;

void dijkstra(int, int);
void print_path(int, int);
void set_mat(int);
void show_mat(int);

int mat[N][N];
int vis[N];
int d[N];
int par[N];

int main(void)
{
    int n;

    scanf("%d", &n);
    set_mat(n);
    //according to the question descript, begin=0, end=1
    int begin_v = 0, end_v = 1;
    
    dijkstra(begin_v, n);
    //print path: begin:0, end:par[1]
    print_path(begin_v, par[end_v]);
    printf("%d
", end_v);
    printf("%d
", d[end_v]);
    return 0;
}

void dijkstra(int begin, int n)
{
    
    int t, i, min, x, y;

    //init
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    for (i = 0; i < n; ++i)
        d[i] = INF;
    d[begin] = 0;
    par[begin] = begin;

    //loop n times
    for (t = 0; t < n; ++t) {
        //choice min d[i]
        min = INF;
        for (i = 0; i < n; ++i)
            if (!vis[i] && d[i] < min)
                min = d[x = i];

        vis[x] = 1;

        //update
        for (y = 0; y < n; ++y)
            if (mat[x][y] > 0 && d[y] > d[x] + mat[x][y]) {
                d[y] = d[x] + mat[x][y];
                par[y] = x;
            }
    }
}

void print_path(int begin, int i)
{
    if (i != begin)
        print_path(begin, par[i]);
    printf("%d ", i);
}

void set_mat(int n)
{
    int i, j;
    
    for (i = 0; i < n; ++i)
        for (j = 0; j < n; ++j)
            scanf("%d", &mat[i][j]);
}

void show_mat(int n)
{
    int i, j;
    
    for (i = 0; i < n; ++i)
        for (j = 0; j < n; ++j)
            printf(j == n-1 ? "%d
" : "%d ", mat[i][j]);
}

测试用例

输入：
5
0 100 0 30 10
0 0 0 60 0
0 10 0 0 0
0 0 20 0 0
0 0 50 0 0

输出
0 3 2 1
60

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