旋转卡壳与计算几何应用篇

目录

• 旋转卡壳
  • 凸包
  • 旋转！跳跃！
  • 错误示范
  • 代码
• 一些练习
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11

旋转卡壳

这种东西，你只要理解做法就行了，因为这种东西十分的玄。

题目描述

【题意】
给出n个点的坐标，求最远两点间的距离。
【输入格式】
第一行一个整数n(2 ≤ n ≤ 50000)。
下来n行，每行两个实数x和y表示点坐标（x,y<=|10^6|)。
【输出格式】
一行一个实数，表示最远两点间的距离的平方（保留2位小数）。 
【样例输入】
5
0 0
0 5
5 0
5 5
2 0
【样例输出】
50.00

凸包

我们首先可以知道最长的距离肯定在凸包上，如果不在，你可以连线最近的两个在凸包上的点，总有一条是大于这个线段的。

旋转！跳跃！

那么，在凸包上我们还能怎么做？O(n^2)

那么这就很伤了呀。

但是还是有大佬发明了一个(O(n))的算法。

我们现在准备两条平行线，卡住这个凸多边形。

来源于https://jvruo.com/archives/79/

当然，卡住的情况有三种：

1. 点对点。
2. 点对边
3. 边对边

由于点对点比较难，后面旋转的时候会旋转成点对边，而且边对边可以拆成两个点对边，所以我们只讨论点对边的情况，也就是这种情况：

但是如何求对踵点？选一条边，存在一个点使得构成的三角形面积最大的就是对踵点，同时也就是点对边。

通过自己感性的理解以及加以画图，应该可以理解为什么是对踵点才是最长的了。

而且我们会发现，我们逆时针模拟的话，对踵点也是绕着凸包逆时针旋转。

有人证明过，对踵点对数量小于(frac{3n}{2})

错误示范

为什么模拟点对边可以模拟出所有的对踵点。

举一个简单的例子：

你会发现以(AF,AE)为边的话，(AB)这对对踵点无法找到，这就很气人了，我也以为旋转卡壳是错的。

但是调试发现(BD)就会以(A)为对踵点了。

自己画了几个图发现，对踵点至少会被点到一次，最多被点到四次。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define  N  111000
using  namespace  std;
double  eps=1e-10;
struct dian{double  x,y;}aa[N],sta[N];int  n,top;
inline  double  mu(dian  x1,dian  x2,dian  y){return  (x1.x-y.x)*(x2.y-y.y)-(x2.x-y.x)*(x1.y-y.y);}//叉积 
inline  double  dis(dian  x,dian  y){return  (x.x-y.x)*(x.x-y.x)+(x.y-y.y)*(x.y-y.y);}//距离，不用开根，这题开根会掉精 
inline  bool  cmp(dian  x,dian  y)//排序 
{
	double  tt=mu(x,y,aa[1]);
	if(tt>eps)return  true;
	else  if(fabs(tt)<=eps  &&  dis(aa[1],x)<dis(aa[1],y))return  true;
	return  false;
}
void  tubao()//凸包 
{
	sort(aa+2,aa+n+1,cmp);
	top=2;sta[1]=aa[1];sta[2]=aa[2];
	for(int  i=3;i<=n;i++)
	{
		while(top>1  &&  mu(sta[top],aa[i],sta[top-1])<=0)top--;
		sta[++top]=aa[i];
	}
}
inline  double  mymax(double  x,double  y){return  x>y?x:y;}
void  ka()
{
	double  ans=0;
	sta[++top]=sta[1];/*收尾相连*/int  now=2;//特判点数1与2的情况 
	for(int  i=1;i<top;i++)
	{
		while(mu(sta[i+1],sta[now+1],sta[i])>mu(sta[i+1],sta[now],sta[i]))//叉积求面积，这里需要处理好旋转方向，保证面积大于0 
		{
			now++;if(now==top)now=1;
		}
		ans=mymax(ans,dis(sta[now],sta[i]));
	}
	printf("%.2lf
",ans);//dis没开根 
}
int  main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf%lf",&aa[i].x,&aa[i].y);
		if(aa[i].x<aa[1].x  ||  (aa[i].x==aa[1].x  &&  aa[i].y<aa[1].y)){dian  zjj=aa[1];aa[1]=aa[i];aa[i]=zjj;}
	}
	tubao();//凸包 
	ka();//旋转卡壳 
	return  0;
}

一些练习

1

题目描述
【题目描述】 
给定平面上N个点,你需要计算以其中4个点为顶点的正方形的个数。注意这里的正方形边不一定需要和坐标轴平行。 
【输入文件】 
第一行一个数N,以下N个点的坐标。 
【输出文件】 
一个数正方形的个数。 
【样例输入】 
7 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
1 2 
2 1 
2 2 
【样例输出】 
3 
【数据规模】 
对于20％的数据,满足1≤N≤20； 
对于l00％的数据,满足1≤N≤500,-50≤X[i],Y[i]≤50,点不会重叠。

暴力枚举两个点，然后一直暴力一直爽。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using  namespace  std;
int  a[610][2],n,ans;
bool  bk[610][610];
void  work(int  x,int  y)
{
	int  xx=(a[y][0]-a[x][0]),yy=(a[y][1]-a[x][1]);
	int  x1=a[x][0]-yy,y1=a[x][1]+xx,x2=a[y][0]-yy,y2=a[y][1]+xx;
	if(bk[x1][y1]  &&  bk[x2][y2])ans++;
	x1=a[x][0]+yy,y1=a[x][1]-xx,x2=a[y][0]+yy,y2=a[y][1]-xx;//暴力算出两个三角形，bool矩阵暴力判 
	if(bk[x1][y1]  &&  bk[x2][y2])ans++;
}
int  main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		int  x,y;scanf("%d%d",&x,&y);x+=150;y+=150;
		a[i][0]=x;a[i][1]=y;bk[x][y]=true;
	}
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int  j=i+1;j<=n;j++)work(i,j);
	}
	printf("%d
",ans/4);//每个矩阵重复算四次 
	return  0;
}

2

题目

翻译：

给你一堆构成凸包的点，然后以原点为基准，逆时针输出所有的点。

无三点共线，无其他点在x,y轴。

暴力一直爽，一直暴力一直爽。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using  namespace  std;
double  eps=1e-8;
struct  dian{double  x,y;}a[100];
double  pd(dian  x1,dian  x2,dian  y){return  (x1.x-y.x)*(x2.y-y.y)-(x2.x-y.x)*(x1.y-y.y);}
bool  cmp(dian  x,dian  y)
{
	if(pd(x,y,a[1])>eps)return  true;
	return  false;
}
int  n;
int  main()
{
//	freopen("sb.in","r",stdin);
	n=1;
	while(scanf("%lf%lf",&a[n].x,&a[n].y)!=EOF)
	{
		if(a[n].x<a[1].x  ||  (fabs(a[n].x-a[1].x)<=eps  &&  a[n].y<a[1].y)){dian  z=a[n];a[n]=a[1];a[1]=z;}
		n++;
	}
	n--;
	sort(a+2,a+n+1,cmp);//类似凸包的排序
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		if(a[i].x==0  &&  a[i].y==0)//找到原点
		{
			for(int  j=i;j<=n;j++)printf("(%.0lf,%.0lf)
",a[j].x,a[j].y);
			for(int  j=1;j<i;j++)printf("(%.0lf,%.0lf)
",a[j].x,a[j].y);
			break;
		}
	}
	return  0;
}

3

3

大概意思就是说给你一些半径一样的圆，求类似凸包的周长。

那么我们容易看出其实就是凸包的周长加上一个圆周。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using  namespace  std;
double  eps=1e-8,pai=3.1415926535897932;
struct  dian{double  x,y;}a[1100],sta[1100];int  n,len;double  l;
inline  double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
inline  double  dis(dian  x,dian  y){return  sqrt((x.x-y.x)*(x.x-y.x)+(x.y-y.y)*(x.y-y.y));}
inline  bool  cmp(dian  x,dian  y)
{
	double  tt=mu(x,y,a[1]);
	if(tt>eps)return  true;
	else  if(fabs(tt)<=eps  &&  dis(x,a[1])-dis(y,a[1])<-eps)return  true;
	return  false;
}
int  main()
{
	scanf("%d%lf",&n,&l);
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
		if(a[i].x-a[1].x<-eps  ||  (fabs(a[i].x-a[1].x)<=eps  &&  a[i].y-a[1].y<-eps)){dian  z=a[1];a[1]=a[i];a[i]=z;}
	}
	sort(a+2,a+n+1,cmp);
	len=2;sta[1]=a[1];sta[2]=a[2];
	for(int  i=3;i<=n;i++)
	{
		while(len>1  &&  mu(a[i],sta[len],sta[len-1])>=-eps)len--;
		sta[++len]=a[i];
	}
	sta[len+1]=sta[1];
	double  ans=0.0;
	for(int  i=1;i<=len;i++)ans+=dis(sta[i],sta[i+1]);
	ans+=pai*2*l;//圆周
	printf("%.0lf
",ans);
	return  0;
}

4

4

逆时针输出点，其实很弱智，但是我们可以发现不管作那个点为基准点做逆时针排序，得出的逆时针顺序都一样。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using  namespace  std;
double  eps=1e-8;
struct  dian{double  x,y;}a[100];
double  pd(dian  x1,dian  x2,dian  y){return  (x1.x-y.x)*(x2.y-y.y)-(x2.x-y.x)*(x1.y-y.y);}
bool  cmp(dian  x,dian  y)
{
	if(pd(x,y,a[1])>eps)return  true;//无共线情况
	return  false;
}
int  n;
int  main()
{
	n++;
	while(scanf("%lf%lf",&a[n].x,&a[n].y)!=EOF)
	{
		if(fabs(a[n].x)<=eps  &&  fabs(a[n].y)<=eps){dian  z=a[n];a[n]=a[1];a[1]=z;}
		n++;
	}
	n--;
	sort(a+2,a+n+1,cmp);
	for(int  i=1;i<=n;i++)printf("(%.0lf,%.0lf)
",a[i].x,a[i].y);
	return  0;
}

5

5

判断是否是稳定凸包。

也就是每条边都至少有三个点。（特判直线情况）

用类似凸包的方法排序（虽然不是很需要，可以把凸包去掉，并改改代码，但是懒得改了，当时），但是应当特判最后一条边。

一个数据：

1
7
0 0
1 0
2 0
2 1
2 2
1 2
0 2

NO

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using  namespace  std;
struct  dian
{
	double  x,y;
}a[1100],sta[1100];int  n;double  eps=1e-7;
double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
double  dis(dian  x,dian  y){return  sqrt((x.x-y.x)*(x.x-y.x)+(x.y-y.y)*(x.y-y.y));}
bool  cmp(dian  x,dian  y)
{
	double  tt=mu(x,y,a[1]);
	if(tt>eps)return  true;
	else  if(fabs(tt)<=eps  &&  dis(a[1],x)-dis(a[1],y)<=eps)return  true;
	return  false;
}
int  main()
{
	int  T;scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int  i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
			if(a[i].x-a[1].x<-eps  ||  (fabs(a[i].x-a[1].x)<=eps  &&  a[i].y-a[1].y<-eps)){dian  z=a[1];a[1]=a[i];a[i]=z;}
		}
		sort(a+2,a+n+1,cmp);
		int  top=2;sta[1]=a[1];sta[2]=a[2];
		for(int  i=3;i<=n;i++)
		{
			while(top>1  &&  mu(a[i],sta[top],sta[top-1])>eps)top--;
			sta[++top]=a[i];
		}
		//凸包判排序
		if((n-1)>1  &&  fabs(mu(a[n-1],sta[top],sta[1]))<=eps)//最后一条边有点与top共线 
		{
			dian  now=sta[top];
			for(int  i=top;i>1;i--)
			{
				if(fabs(mu(sta[i],now,sta[1]))<=eps)top--;
				else  break;
			}//去掉最后一条边，重复点的情况。 
			sta[++top]=now;//保留一个点。 
			if(top<=2)//一条直线 
			{
				printf("NO
");
				continue;
			}
			bool  bk=false;
			for(int  i=3;i<=top;i++)
			{
				if(fabs(mu(sta[i-2],sta[i-1],sta[i]))<=eps)bk=true;
				else
				{
					if(bk==true)bk=false; 
					else  break;
				}
			}
			if(bk==false)printf("NO
");
			else printf("YES
");
		}
		else  printf("NO
");
	}
	return  0;
}

6

6

判断情况。

分别用斜率与两点式（(ax+by+c=0)，求的公式在代码中有）做了。

斜率版：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using  namespace  std;
struct  dian
{
	double  x,y;
	dian(double  xx=0.0,double  yy=0.0){x=xx;y=yy;}
}xx1,yy1,xx2,yy2;double  eps=1e-7;
dian  pd(dian  x,dian  y)
{
	dian  z;z.x=(x.y-y.y)/(x.x-y.x);//斜率
	z.y=x.y-x.x*z.x;
	return  z;
}
double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
dian  jd()
{
	double  t1=mu(yy2,xx1,xx2),t2=mu(yy2,yy1,xx2);
	return  dian((t1*yy1.x-t2*xx1.x)/(t1-t2),(t1*yy1.y-t2*xx1.y)/(t1-t2));
}
void  solve()
{
	dian  q=pd(xx1,yy1),p=pd(xx2,yy2);
	if(xx1.x==yy1.x)//特判y=0的直线
	{
		if(xx2.x==yy2.x)
		{
			if(xx1.x==xx2.x)printf("LINE
");
			else  printf("NONE
");
		}
		else  printf("POINT %.2lf %.2lf
",xx1.x,xx1.x*p.x+p.y);
		return  ;
	}
	if(fabs(q.x-p.x)<=eps)
	{
		if(fabs(q.y-p.y)<=eps)printf("LINE
");
		else  printf("NONE
");
	}
	else
	{
		dian  z=jd();
		printf("POINT %.2lf %.2lf
",z.x,z.y);
	}
}
int  main()
{
//	freopen("sb.out","w",stdout);
	printf("INTERSECTING LINES OUTPUT
");
	int  n;scanf("%d",&n);
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&xx1.x,&xx1.y,&yy1.x,&yy1.y,&xx2.x,&xx2.y,&yy2.x,&yy2.y);
		solve();
	}
	printf("END OF OUTPUT
");
	return  0;
}

两点式：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using  namespace  std;
struct  dian
{
	double  x,y;
	dian(double  xx=0.0,double  yy=0.0){x=xx;y=yy;}
}xx1,yy1,xx2,yy2;double  eps=1e-6;
struct  node{double  x,y,z;};
node  pd(dian  x,dian  y)//求两点式 
{
	//(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)相似三角形可以求出此式子
	//(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)相似三角形 
	//(y2-y1)x+(x1-x2)y+(x1y1-x1y2+y1x2-x1y1)
	//(y2-y1)x+(x1-x2)y+(y1x2-x1y2)
	node  z;z.x=(y.y-x.y);z.y=(x.x-y.x);z.z=(x.y*y.x-x.x*y.y);
	return  z;
}
double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
dian  jd()
{
	double  t1=mu(yy2,xx1,xx2),t2=mu(yy2,yy1,xx2);
	return  dian((t1*yy1.x-t2*xx1.x)/(t1-t2),(t1*yy1.y-t2*xx1.y)/(t1-t2));
}
void  solve()
{
	node  q=pd(xx1,yy1),p=pd(xx2,yy2);
	if(fabs(q.x*p.y-q.y*p.x)<=eps)
	{
		if(fabs(q.z*p.y-p.z*q.y)<=eps  &&  fabs(q.z*p.x-p.z*q.x)<=eps)printf("LINE
");
		else  printf("NONE
");
	}
	else
	{
		dian  z=jd();
		printf("POINT %.2lf %.2lf
",z.x,z.y);
	}
}
int  main()
{
//	freopen("sb.out","w",stdout);
	printf("INTERSECTING LINES OUTPUT
");
	int  n;scanf("%d",&n);
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&xx1.x,&xx1.y,&yy1.x,&yy1.y,&xx2.x,&xx2.y,&yy2.x,&yy2.y);
		solve();
	}
	printf("END OF OUTPUT
");
	return  0;
}

7

7

//双倍经验
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using  namespace  std;
double  eps=1e-8;
struct  dian{double  x,y;};
struct  line{dian  x,y;}a[110000];
double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
double  mymin(double  x,double  y){return  x<y?x:y;}
double  mymax(double  x,double  y){return  x>y?x:y;}
bool  pd(line  x,dian  y){return  (y.x>=mymin(x.x.x,x.y.x)  &&  y.x<=mymax(x.x.x,x.y.x)  &&  y.y>=mymin(x.x.y,x.y.y)  &&  y.y<=mymax(x.x.y,x.y.y));}
bool  solve(line  x,line  y)
{
	if(mu(y.y,x.x,y.x)*mu(y.y,x.y,y.x)<-eps  &&  mu(x.y,y.x,x.x)*mu(x.y,y.y,x.x)<-eps)return  true;
	if((fabs(mu(x.x,y.x,y.y))<=eps  &&  pd(y,x.x)==true)  ||  
	(fabs(mu(x.y,y.x,y.y))<=eps  &&  pd(y,x.y)==true)  ||  
	(fabs(mu(y.x,x.x,x.y))<=eps  &&  pd(x,y.x)==true)  ||  
	(fabs(mu(y.y,x.x,x.y))<=eps  &&  pd(x,y.y)==true))return  true;
	return  false;
}
int  n,ans[110000];
int  main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		if(n==0)break;
		for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%lf%lf",&a[i].x.x,&a[i].x.y,&a[i].y.x,&a[i].y.y);
		ans[0]=0;
		for(int  i=1;i<=n;i++)
		{
			bool  bk=false;
			for(int  j=i+1;j<=n;j++)
			{
				if(solve(a[i],a[j])==true){bk=true;break;}
			}
			if(bk==false)ans[++ans[0]]=i;
		}
		printf("Top sticks:");
		for(int  i=1;i<ans[0];i++)printf(" %d,",ans[i]);
		printf(" %d.
",ans[ans[0]]);
	}
	return  0;
}

8

8

逆时针的半平面交双倍经验。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define  N  110
using  namespace  std;
double  eps=1e-8;
int  n;
struct  dian
{
	double  x,y;
	dian(double  xx=0,double  yy=0){x=xx;y=yy;}
};
struct  line
{
	dian  x,y;
	double  agr;
	void  made(){agr=atan2(y.y-x.y,y.x-x.x);}
}a[N],sta[N];int  head,tail;
inline  double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
inline  dian  jd(line  x,line  y)
{
	double  t1=mu(y.x,x.x,y.y),t2=mu(y.x,x.y,y.y);
	return  dian((t1*x.y.x-t2*x.x.x)/(t1-t2),(t1*x.y.y-t2*x.x.y)/(t1-t2));
}
inline  bool  safe(line  x,dian  y){return  mu(y,x.y,x.x)<=eps;}
inline  bool  cmp(line  x,line  y)
{
	if(x.agr-y.agr<-eps)return  true;
	else  if(fabs(x.agr-y.agr)<=eps  &&  safe(y,x.x)==true)return  true;
	return  false;
}
inline  bool  bpm()
{
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int  tp=1;for(int  i=2;i<=n;i++)if(fabs(a[i].agr-a[i-1].agr)>eps)a[++tp]=a[i];
	n=tp;
	head=1;tail=2;sta[1]=a[1];sta[2]=a[2];
	for(int  i=3;i<=n;i++)
	{
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[head],sta[head+1]))==false)head++;
		sta[++tail]=a[i];
	}
	while(head<tail  &&  safe(sta[head],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
	if(tail-head+1<=2)return  false;
	return  true;
}
int  main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		if(n==0)break;
		for(int  i=1;i<=n;i++)
		{
			double  x,y;scanf("%lf%lf",&x,&y);
			a[i-1].y.x=a[i].x.x=x;a[i-1].y.y=a[i].x.y=y;
			a[i-1].made();
		}
		a[n].y.x=a[1].x.x;a[n].y.y=a[1].x.y;a[n].made();
		if(bpm())printf("1
");
		else  printf("0
");
	}
	return  0;
}

9

9

双倍经验，变成顺时针。

//非凸多边形不能用叉积判顺逆 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define  N  210
using  namespace  std;
double  eps=1e-8;
int  n;
struct  dian
{
	double  x,y;
	dian(double  xx=0,double  yy=0){x=xx;y=yy;}
};
struct  line
{
	dian  x,y;
	double  agr;
	void  made(){agr=atan2(y.y-x.y,y.x-x.x);}
}a[N],sta[N];int  head,tail;
inline  double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
inline  dian  jd(line  x,line  y)
{
	double  t1=mu(y.x,x.x,y.y),t2=mu(y.x,x.y,y.y);
	return  dian((t1*x.y.x-t2*x.x.x)/(t1-t2),(t1*x.y.y-t2*x.x.y)/(t1-t2));
}
inline  bool  safe(line  x,dian  y){return  mu(y,x.y,x.x)<=eps;}
inline  bool  cmp(line  x,line  y)
{
	if(x.agr-y.agr<-eps)return  true;
	else  if(fabs(x.agr-y.agr)<=eps  &&  safe(y,x.x)==true)return  true;
	return  false;
}
inline  bool  bpm()
{
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int  tp=1;for(int  i=2;i<=n;i++)if(fabs(a[i].agr-a[i-1].agr)>eps)a[++tp]=a[i];
	n=tp;
	head=1;tail=2;sta[1]=a[1];sta[2]=a[2];
	for(int  i=3;i<=n;i++)
	{
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[head],sta[head+1]))==false)head++;
		sta[++tail]=a[i];
	}
	while(head<tail  &&  safe(sta[head],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
	if(tail-head+1<=2)return  false;
	return  true;
}
int  main()
{
	int  T;scanf("%d",&T);
	for(int  i=1;i<=T;i++)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].x.x,&a[i].x.y);
		for(int  i=n-1;i>=1;i--)a[i+1].y=a[i].x,a[i+1].made();
		a[1].y=a[n].x;a[1].made();
		if(bpm())printf("YES
");
		else  printf("NO
");
	}
	return  0;
}

10

10

多次双倍经验，顺时针。

//非凸多边形不能用叉积判顺逆 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define  N  210
using  namespace  std;
double  eps=1e-8;
int  n;
struct  dian
{
	double  x,y;
	dian(double  xx=0,double  yy=0){x=xx;y=yy;}
};
struct  line
{
	dian  x,y;
	double  agr;
	void  made(){agr=atan2(y.y-x.y,y.x-x.x);}
}a[N],sta[N];int  head,tail;
inline  double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
inline  dian  jd(line  x,line  y)
{
	double  t1=mu(y.x,x.x,y.y),t2=mu(y.x,x.y,y.y);
	return  dian((t1*x.y.x-t2*x.x.x)/(t1-t2),(t1*x.y.y-t2*x.x.y)/(t1-t2));
}
inline  bool  safe(line  x,dian  y){return  mu(y,x.y,x.x)<=eps;}
inline  bool  cmp(line  x,line  y)
{
	if(x.agr-y.agr<-eps)return  true;
	else  if(fabs(x.agr-y.agr)<=eps  &&  safe(y,x.x)==true)return  true;
	return  false;
}
inline  bool  bpm()
{
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int  tp=1;for(int  i=2;i<=n;i++)if(fabs(a[i].agr-a[i-1].agr)>eps)a[++tp]=a[i];
	n=tp;
	head=1;tail=2;sta[1]=a[1];sta[2]=a[2];
	for(int  i=3;i<=n;i++)
	{
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[head],sta[head+1]))==false)head++;
		sta[++tail]=a[i];
	}
	while(head<tail  &&  safe(sta[head],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
	if(tail-head+1<=2)return  false;
	return  true;
}
int  main()
{
	int  T=0;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		if(n==0)break;
		T++;printf("Floor #%d
",T);
		for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].x.x,&a[i].x.y);
		for(int  i=n-1;i>=1;i--)a[i+1].y=a[i].x,a[i+1].made();
		a[1].y=a[n].x;a[1].made();
		if(bpm())printf("Surveillance is possible.

");
		else  printf("Surveillance is impossible.

");
	}
	return  0;
}

11

11

顺时针，在多求个面积。。。

//非凸多边形不能用叉积判顺逆 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define  N  2110
using  namespace  std;
double  eps=1e-8;
int  n;
struct  dian
{
	double  x,y;
	dian(double  xx=0,double  yy=0){x=xx;y=yy;}
}pl[N];
struct  line
{
	dian  x,y;
	double  agr;
	void  made(){agr=atan2(y.y-x.y,y.x-x.x);}
}a[N],sta[N];int  head,tail;
inline  double  mu(dian  x,dian  y,dian  z){return  (x.x-z.x)*(y.y-z.y)-(y.x-z.x)*(x.y-z.y);}
inline  dian  jd(line  x,line  y)
{
	double  t1=mu(y.x,x.x,y.y),t2=mu(y.x,x.y,y.y);
	return  dian((t1*x.y.x-t2*x.x.x)/(t1-t2),(t1*x.y.y-t2*x.x.y)/(t1-t2));
}
inline  bool  safe(line  x,dian  y){return  mu(y,x.y,x.x)<=eps;}
inline  bool  cmp(line  x,line  y)
{
	if(x.agr-y.agr<-eps)return  true;
	else  if(fabs(x.agr-y.agr)<=eps  &&  safe(y,x.x)==true)return  true;
	return  false;
}
inline  void  bpm()
{
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int  tp=1;for(int  i=2;i<=n;i++)if(fabs(a[i].agr-a[i-1].agr)>eps)a[++tp]=a[i];
	n=tp;
	head=1;tail=2;sta[1]=a[1];sta[2]=a[2];
	for(int  i=3;i<=n;i++)
	{
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
		while(head<tail  &&  safe(a[i],jd(sta[head],sta[head+1]))==false)head++;
		sta[++tail]=a[i];
	}
	while(head<tail  &&  safe(sta[head],jd(sta[tail],sta[tail-1]))==false)tail--;
	if(tail-head+1<=2)
	{
		printf("0.00
");
		return  ;
	}
	double  ans=0;int  len=0;
	for(int  i=head;i<tail;i++)pl[++len]=jd(sta[i],sta[i+1]);pl[++len]=jd(sta[head],sta[tail]);
	for(int  i=3;i<=len;i++)ans+=mu(pl[i-1],pl[i],pl[1]);
	printf("%.2lf
",fabs(ans/2));
}
int  main()
{
	int  T;scanf("%d",&T);
	for(int  i=1;i<=T;i++)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].x.x,&a[i].x.y);
		for(int  i=n-1;i>=1;i--)a[i+1].y=a[i].x,a[i+1].made();
		a[1].y=a[n].x;a[1].made();
		bpm();
	}
	return  0;
}