CF1380F.Strange Addition（线段树维护矩阵乘法）

题意：

定义一种特殊的加法，这种加法没有进位，其他与普通加法一样，比如16+16=212。

给出一个数，询问这个数可能被哪两个数用特殊加法构成，并且每次询问修改这个数数位上的一个数字，输出更新后的答案。

题解：

矩阵乘法优化dp

矩阵乘法可以用来加速线性递推式。

以斐波那契数列为例：

f[n] = f[n-1] + f[n-2]

可以构造出矩阵A：

f[n-1]
f[n-2]

需要转移到状态B：

f[n]
f[n-1]

要构造一个转移矩阵X，使得AX=B。由矩阵乘法的性质可得，X是一个2*2的矩阵。

f[n-1]*x(1,1) + f[n-2]*x(1,2)
f[n-1]*x(2,1) + f[n-2]*x(2,2)

又由斐波那契数列的递推式可以得知这个X是这样的：

1 1
1 0

这就是转移矩阵了。将原始的矩阵(f[1],f[2])乘上n-2次后，x(1,1)就是答案。

在这基础上用矩阵快速幂优化，可以把时间复杂度从O(n)优化到O(8*logn)。

对于这道题，面对带修改的线性dp，考虑用线段树维护矩阵乘法。

（1）先不考虑修改，不考虑区间，直接列出整个区间的DP方程。

（2）列出转移矩阵，由于有很多修改操作，我们将数据集中在一起处理，还可以利用矩阵结合律，并且区间比较好提取。

（3）线段树维护矩阵。对于修改，在矩阵上做修改，对于不同的题目，我们要用不同的修改方式。

对于这道题，对于一个字符串c，可以写出下面的递推式

f(i) = f(i-1)*(c[i]+1)+f(i-2)*(19-c[i-1]*10-c[i])

面对这个转移矩阵，根据上面斐波那契的方法，我们可以写出转移矩阵：

c[i]+1  (19-c[i-1]*10-c[i])
1          0

然后写到这里，俺蒙蔽了，回头想通了补。。。

看了橙名大佬的代码才知道是线段树维护矩阵乘法，涨姿势了，%%%%%%%

//线段树维护矩阵乘法 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+100;
const int mod=998244353;
typedef long long ll;
struct node {
    ll sum[2][2];
    int l,r;
}segTree[maxn*4];
void update (int x) {
    segTree[x].l=segTree[x<<1].l;
    segTree[x].r=segTree[x<<1|1].r;
    for (int i=0;i<2;i++)
        for (int j=0;j<2;j++) {
            segTree[x].sum[i][j]=segTree[x<<1].sum[i][1]*segTree[x<<1|1].sum[1][j]%mod;
            int y=segTree[x<<1].r*10+segTree[x<<1|1].l;
            if (y>=10&&y<=18) {
                segTree[x].sum[i][j]+=segTree[x<<1].sum[i][0]*segTree[x<<1|1].sum[0][j]%mod*(9-(y-9)+1)%mod;
                if (segTree[x].sum[i][j]>=mod) segTree[i].sum[i][j]%=mod; 
            }
        }
}
ll a[maxn];
void build (int x,int l,int r) {
    if (l==r) {
        segTree[x].l=segTree[x].r=a[l];
        segTree[x].sum[1][1]=segTree[x].l+1;
        segTree[x].sum[0][0]=0;
        segTree[x].sum[0][1]=segTree[x].sum[1][0]=1;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(x<<1,l,mid);
    build(x<<1|1,mid+1,r);
    update(x);
} 
void modify (int x,int l,int r,int pos,int d) {
    if (l==r) {
        segTree[x].l=segTree[x].r=d;
        segTree[x].sum[1][1]=segTree[x].l+1;
        segTree[x].sum[0][0]=0;
        segTree[x].sum[0][1]=segTree[x].sum[1][0]=1;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (mid>=pos)
        modify(x<<1,l,mid,pos,d);
    else
        modify(x<<1|1,mid+1,r,pos,d);
    update(x);
}
int n,m,x,y;
string s;
int main () {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    cin>>s;
    for (int i=0;i<s.length();i++) a[i+1]=s[i]-'0';
    build(1,1,n);
    while (m--) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        modify(1,1,n,x,y);
        printf("%lld
",segTree[1].sum[1][1]);
    }
}