设$a>0$为常数，则级数$sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^{n}n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}$的收敛性如何？
解：由$$u_{n}=frac{n^{n-1}}{n^{n}+a^{n}n}=frac{1}{n+(frac{a}{n})^{n}n^{2}} sim frac{1}{n} ,n o infty$$
知该级数非绝对收敛。
设$f(x)=x+(frac{a}{x})x^{2}$，则
$$f'(x)=1+(frac{a}{x})^{x}x^{2}(ln frac{a}{x}-1+frac{2}{x})$$
极限$$lim_{x o +infty}f'(x)=1+lim_{x o +infty}(frac{a}{x})^{x}x^{2}ln frac{a}{x}=1-lim_{x o infty}(frac{a}{x})^{x}x^{2}ln x=1$$
所以存在$M>0$,当$x>M$时$f(x)$严格单调递增，从而$u_{n}$单调递减趋于零，由Leibnitz判别法知级数(条件)收敛。
注意有如下极限成立：
(i). $$lim_{x o infty}(frac{a}{x})^{x}x^{2}=0,a>0$$
(ii). $$lim_{x o infty}(frac{a}{x})^{x}x^{eta}=0,a>0,eta >0$$
(iii). $$lim_{x o infty}(frac{a}{x})^{x}x^{2}ln x=0,a>0$$
证明：此处用夹逼准则, $ln x < x $.