命题 1： 定义区间$I$上的Schwarz导数
$$D^{2}f(x)=lim_{h o 0}frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}$$
若$D^{2}f(x)geq 0$则$f(x)$为$I$上的下凸函数，若$D^{2}f(x)leq 0$，则$f(x)$为$I$上的上凸函数.
证明: 任意$varepsilon >0$,构造辅助函数
$$F(x)=f(x)-left[f(a)+frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
ight]+varepsilon (x-a)(x-b)$$
经计算有
egin{align*}
D^{2}F(x)&=lim_{h o 0}frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^{2}}\
&=lim_{h o 0}frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}+2varepsilon\
&geq 2varepsilon
end{align*}
构造的辅助函数满足$F(a)=F(b)=0$且为$[a,b]$上的连续函数, 我们证明其最大值必然在端点处取到, 否则设$x_{0}in (a,b)$且$F(x_{0})=max_{xin [a,b]}{F(x)}$
$$frac{F(x_{0}+h)+F(x_{0}-h)-2F(x_{0})}{h^{2}}leq 0$$
取$h o 0$得$D^{2}F(x_{0})leq 0$与$D^{2}F(x)geq 2varepsilon$矛盾. 故$F(x)leq F(a)=0$即
$$f(x)leq f(a)+frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-varepsilon (x-a)(x-b)$$
令$varepsilon o 0$,有
$$f(x)leq f(a)+frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$
取$x=frac{a+b}{2}$, 便得
$$fleft(frac{a+b}{2}
ight)leq frac{1}{2}f(a)+frac{1}{2}f(b)$$
$f(x)$为$I$上下凸函数, 反之证明方法类似只需把$varepsilon$改为负的即可.
命题 2: 若$f(x)$既为$I$上的下凸函数又为上凸函数，则$f(x)$为$I$上的线性函数.
证明: 设$x=lambda_{1}a+lambda_{2}b$,其中$lambda_{1}+lambda_{2}=1$.那么
$$f(x)=f(lambda_{1}a+lambda_{2}b)=lambda_{1}f(a)+lambda_{2}(b)$$
经简单计算
$$frac{f(x)-f(a)}{x-a}=frac{(lambda_{1}-1)f(a)+lambda_{2} f(b)}{(lambda_{1}-1)a+lambda_{2}b}=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
故
$$f(x)=f(a)+frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$