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  • 跟锦数学2017年05月

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    证明: 当  时, .

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    证明: 当  时, .

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    计算以下渐近等式

    中的待定常数 .

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    设非负严格增加函数  在区间  上连续, 有积分中值定理, 对于每个  存在唯一的 , 使

    试求 .

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    设  为实数, 且存在有限极限

    证明; .

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    Assume that  is a positive constant,  are two nonnegative  functions, and  is a nonnegative function, satisfying

    If additionally, the initial data satisfy

    then, for any , one has

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    For  with , we have

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    设 , 矩阵

    计算 .

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    设 , 求 .

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    证明不等式:

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    设数列  满足 . (1) 证明  存在, 并求其极限; (2) 计算 ; (3) 证明 ; (4) 计算 .

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    设  在  上连续, 又

    单调递减. 证明: .

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    设  是  阶实对称矩阵, 其正负惯性指数分别是 . 再设

    证明:

    (1) 包含于  的线性空间的维数至多是 ;

    (2) 若  是  的一个线性子空间, 将二次型限定在  中得到正负惯性指数分别是 , 则有 .

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    在 [Yosida, Kōsaku. Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995] 第 126-127 页给出了一致凸 Banach 空间的定义: 若 Banach 空间  满足

    则称  是一致凸的 Banach 空间. 试证: 若  满足

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    设  是有理数域  上的三维线性空间,  是一个线性变换. 已知  满足

    证明: 向量组  是  的一组基.

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    设  在  上连续, 在  内可导, 且 . 证明: 对于任意的实数 , 一定存在 , 使得

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    函数  在  上单调减, 证明: 对于任何 ,

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    设 , 级数  发散, 证明:  发散.

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    设  在  上一阶连续可导, . 证明:

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    设  二阶连续可导, . 证明:

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    试证:

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    设  是  阶 Hermite 矩阵, 即 . 试证:

    (1) ;

    (2)  的特征值均为实数;

    (3) ;

    (4)  可逆;

    (5)  是酉矩阵, 即 ;

    (6)  可逆;

    (7) .

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    设  是  阶酉矩阵, 满足 . 试证: 存在唯一的  阶 Hermite 矩阵  使得 .

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    试证:

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    设  是  上的连续函数, 满足

    试证: .

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    在实数空间  中给定如下等价关系:

    设在这个等价关系下得到的商集 , 试写出  的商拓扑.

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    域  上的矩阵  称为幂等矩阵, 如果 . 试证: 若  幂等, 则  可对角化, 且 .

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    [兰州大学2013高代] 设  是一个数域,  是  上所有  级矩阵构成的  上的线性空间,  是  上的线性变换, 证明: 若  保持矩阵的乘法运算, 即对任意 ,

    则存在  级可逆矩阵  使得对任意 , 有 .

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    see [李大潜, 秦铁虎, 物理学与偏微分方程 (第二版) 上册, 北京: 高等教育出版社, 2005 年] 第 163 页.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

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