1 定义: $$ex mbox{集合}sedd{a{ll} mbox{有限集}\ mbox{无限集}sedd{a{ll} mbox{可数集}\ mbox{不可数集}:mbox{ 不是可数集的无限集} ea} ea} eex$$
2 例: $bR$ 不可数.
证明: 由于 $bRsim (0,1]$. 我们用仅须用反证法证明 $[0,1]$ 不可数.
若 $$ex [0,1]=sed{a_1,a_2,cdots}, eex$$
则每个 $a_i$ 有十进制表示:$$ex a_i=0.a_{i1}a_{i2}cdots. eex$$
构造 $$ex ilde a=0.a_1a_2cdots,quad a_i=9-a_{ii}, eex$$
则易知 $ain [0,1]$, 但 $a eq a_i, forall i$. 这是一个矛盾. 故有结论.
注记: 这是著名的 Cantor 对角线法 (Cantor diagonal method).
3 性质:
(1) 以 $c$ 表示 $bR$ 的基数 (称为连续基数), 则上例给出 $overline{overline{bR}}=c>a=overline{overline{bN}}$.
(2) 由 Bernstein 定理, 所有的 (开、闭、半开半闭、无穷) 区间都基数 $c$.
(3) $dps{overline{overline{A_n}}=c a overline{overline{cup_{n=1}^infty A_n}}=c}$.
证明: 不妨设 $A_i$ 互不相交, 而由 $overline{overline{A_n}}=c$ 知再不妨设 $A_n=[n-1,n)$,
而 $$ex cup_{n=1}^infty A_n=[0,infty) eex$$
具有连续基数.
(4) $dps{overline{overline{A_n}}=c a overline{overline{prod_{n=1}^infty A_n}}=c.}$
证明: 由 $overline{overline{A_n}}=c$ 知不妨设 $A_n=[0,1]$, 而 $$ex prod_{n=1}^infty A_n= [0,1]^infty =sed{(a_1,a_2,cdots); a_iin [0,1]}. eex$$
考虑 $dps{prod_{n=1}^infty A_n}$ 到 $[0,1]$ 的映射 $$ex (a_1,a_2,cdots) o a, eex$$
其中 (又是蛇形串接) $$ex a_i=0.a_{i1}a_{i2}cdots,quad a=0.a_{11}a_{12}a_{21}a_{31}a_{22}a_{13}cdots. eex$$
则易知该映射是一一对应, 而有结论.
(5) 实数列全体 $$ex bR^infty=sed{(a_1,a_2,cdots);a_iinbR} eex$$
具有连续基数 (直接是性质 (4) 的推论).
(6) $bR^n (ngeq 1)$ 具有连续基数.
(7) $0-1$ 数列全体 $$ex sed{0,1}^infty= sed{(a_1,a_2,cdots);a_i=0mbox{ 或 }1} eex$$
具有连续基数.
证明: 我们有 $sed{0,1}^infty$ 到 $[0,1]$ (二进制表示) 的一一对应: $$ex (a_1,a_2,cdots) o 0.a_1a_2cdotsin [0,1]. eex$$
(8) 可数集 $A$ 的所有子集构成的集族 $2^A$ 的基数为 $c$.
证明: 设 $$ex A=sed{a_1,a_2,cdots} eex$$
为可数集. 考虑如下 $2^A$ 到 $sed{0,1}^infty$ 的映射: $$ex Bmapsto (a_1,a_2,cdots), eex$$
其中 $dps{a_i=sedd{a{ll} 1,&a_iin B\ 0,&a_i otin B ea}}$. 则该映射是一一对应. 据性质 (7) 即知结论.
(9) 整数列全体 $$ex bZ^infty=sed{(a_1,a_2,cdots);a_ninbZ} eex$$
具有连续基数.
证明: 由 $sed{0,1}^infty subset bZ^inftysubsetbR^infty$ 即知结论.
(10) $c$ 个具有连续基数的集的并的基数为 $c$: $$ex overline{overline{A_lambda}}=c, forall lambdain vLa,quad overline{overline{vLa}}=c a overline{overline{cup_{lambdain vLa}A_lambda}}=c. eex$$
证明: 由题意, 不妨设 $$ex A_lambda=bR imes sed{lambda},quad lambdain vLa=bR, eex$$
而 $dps{cup_{lambdainvLa}A_lambda=bR^2}$.
4 思考: 有没有最大的基数? 答案: 否!
(1) 无最大基数定理:
设 $M$ 是一个集合, $mu$ 为 $M$ 的所有子集构成的集族, 则 $overline{overline{mu}}>overline{overline{M}}$.
证明: 由 $$ex M i xmapsto sed{x}in mu eex$$
知 $overline{overline{M}}leq overline{overline{mu}}$. 往用反证法证明结论. 若 $overline{overline{M}}=overline{overline{mu}}$ (其中的一一对应为 $f$), 则
考虑 $$ex ilde M=sed{alphain M; alpha otin f(alpha)}in mu. eex$$
于是 $$ex exists ilde alphain M,st f( ilde alpha)= ilde M. eex$$
考察 $ ilde alpha$ 与 $ ilde M$ 的属于、不属于关系.
若 $ ilde alphain ilde M=f( ilde alpha)$, 则由 $ ilde M$ 的定义, $ ilde alpha otin ilde M$;
若 $ ilde alpha otin ilde M=f( ildealpha)$, 则也由 $ ilde M$ 的定义, $ ilde alphain ilde M$.
总而言之, 我们得到矛盾, 而有结论.