[实变函数]2.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造

   1 直线上开集的构造:    $$ex mbox{直线上的开集 }Ombox{ 是有限个或可数个互不相交的开区间的并}.    eex$$    

    证明: 设 $Pin O$, 则 $exists Pin (alpha,eta)subset O$. 取    $$ex alpha_0=infsed{alpha_0;Pin (alpha,eta)subset O},quad    eta_0=supsed{eta;Pin (alpha,eta)subset O}.       eex$$    

    则称区间 $(alpha_0,eta_0)$ 为 $O$ 的构成区间, 具有性质:    $$ex (alpha_0,eta_0)subset O;quad alpha_0,eta_0 otin O;quad mbox{构成区间要么相同, 要么不交}.    eex$$    

    于是 $dps{O=cup_{lambdain vLa} (a_alpha,b_alpha)}$, 其中 $(a_alpha,b_alpha)$ 是 $O$ 的构成区间. 既然不同的构成区间

    不相交, 我们知道 $overline{overline{vLa}}leq a$.    

 

   2 直线上闭集的构造: 对闭集 $F$,    $$ex F^c=cup_{lambda in vLa}(a_lambda,b_lambda),quad overline{overline{vLa}}leq a.    eex$$    

    称 $(a_lambda,b_lambda)$ 为 $F$ 的余区间或邻接区间. 

   

   3 直线上完备集的构造:    $$eex ea Fmbox{ 是完备集}&lra Fmbox{ 是自密闭集}\    &lra Fmbox{ 是没有孤立点的闭集}\    &lra Fmbox{ 的邻接区间没有公共端点}.    eea    eeex$$