1 直线上开集的构造: $$ex mbox{直线上的开集 }Ombox{ 是有限个或可数个互不相交的开区间的并}. eex$$
证明: 设 $Pin O$, 则 $exists Pin (alpha,eta)subset O$. 取 $$ex alpha_0=infsed{alpha_0;Pin (alpha,eta)subset O},quad eta_0=supsed{eta;Pin (alpha,eta)subset O}. eex$$
则称区间 $(alpha_0,eta_0)$ 为 $O$ 的构成区间, 具有性质: $$ex (alpha_0,eta_0)subset O;quad alpha_0,eta_0 otin O;quad mbox{构成区间要么相同, 要么不交}. eex$$
于是 $dps{O=cup_{lambdain vLa} (a_alpha,b_alpha)}$, 其中 $(a_alpha,b_alpha)$ 是 $O$ 的构成区间. 既然不同的构成区间
不相交, 我们知道 $overline{overline{vLa}}leq a$.
2 直线上闭集的构造: 对闭集 $F$, $$ex F^c=cup_{lambda in vLa}(a_lambda,b_lambda),quad overline{overline{vLa}}leq a. eex$$
称 $(a_lambda,b_lambda)$ 为 $F$ 的余区间或邻接区间.
3 直线上完备集的构造: $$eex ea Fmbox{ 是完备集}&lra Fmbox{ 是自密闭集}\ &lra Fmbox{ 是没有孤立点的闭集}\ &lra Fmbox{ 的邻接区间没有公共端点}. eea eeex$$