1 (Lusin 定理) 设 $$ex fmbox{ 是可测集 }Embox{ 上 }ae mbox{ 有限的可测函数}, eex$$
则 $$ex forall delta>0, exists mbox{ 闭集 }F_deltasubset E, m(Es F_delta)<delta, st fmbox{ 在 }F_deltambox{ 上连续}. eex$$
证明:
(1) 若 $f$ 是简单函数: $$ex f=sum_{i=1}^k c_ichi_{E_i}(x),quad E_icap E_j=vno (i eq j). eex$$
则footnote{在第 3.3 节中, 我们已经证得 $$ex Embox{ 可测} a forall ve>0, exists Osupset E, st m(Os E)<ve, eex$$
而有 $$ex Embox{ 可测} a forall ve>0, exists Fsubset E,st m(Es F)<ve. eex$$ } $$ex forall ve>0, exists F_isubset E_i,st m(E_is F_i)<frac{delta}{k}. eex$$
令 $$ex f=sum_{i=1}^k c_ichi_{F_i}, eex$$
则 $f$ 在 $dps{F_delta=cup_{i=1}^k F_i}$ 上连续footnote{设 $x_0in F_delta$, 则 $exists i_0,st x_0in F_{i_0}$.
由 $F_i$ 两两不交及第 2.3 节的结论 (正规性), $$ex exists Osupset F_{i_0}, O'supset F_deltas F_{i_0}st Ocap O'=vno. eex$$
因此, $$ex exists delta>0,st B(x_0,delta)subset O a B(x_0,delta)cap F_delta=B(x_0,delta)cap F_{i_0}. eex$$
这说明 $f(F_deltacap B(x_0,delta))=c_{i_0}$.}, 且 $$ex m(Es F_delta) =msex{cup_{i=1}^k E_is cup_{i=1}^k F_i} leq msex{cup_{i=1}^k (E_is F_i)} <delta. eex$$
(2) 若 $f$ 有界可测, 有 $$ex exists mbox{ 简单函数列 }phi_k ightrightarrows f. eex$$
对 $forall ve>0$, 对每一 $phi_k$, 由已证, $$ex exists mbox{ 闭集 }F_k, m(Es F_k)<frac{delta}{2^k},st phi_kmbox{ 在 }F_kmbox{ 上连续}. eex$$
取 $dps{F_delta=cap_{k=1}^infty F_k}$, 则 $F_delta$ 为闭集; $f$ 作为一致收敛的连续函数列的极限, 在 $F_delta$
上连续; 且 $$ex m(Es F_delta) leq sum_{k=1}^infty m(Es F_k)<delta. eex$$
(3) 若 $f$ 可测, 用 $Es E[|f|=+infty]$ 代替 $E$ 后可设 $f$ 是有限函数. 考虑有界
函数 $$ex f=frac{f}{1+|f|}, eex$$
由已证, $$ex forall delta>0, exists mbox{ 闭集 }F_deltasubset E, m(Es F_delta)<delta, st gmbox{ 在 }F_deltambox{ 上连续}. eex$$
而 $f$ 在 $F_delta$ 上连续footnote{ $$ex |g|=frac{|f|}{1+|f|} a |f|=frac{|g|}{1-|g|} a f=g(1+|f|)=frac{g}{1-|g|}. eex$$}.
2 Lusin 定理的意义: $$ex mbox{可测函数 ``基本上'' 连续}. eex$$
3 Lusin 定理的另一形式: 设 $f$ 是 $E$ 上 $ae$ 有限的可测函数, 则 $$ex forall delta>0, exists Fsubset E: m(Es F)<delta, gin C(bR), eex$$ $$ex st g|_F=f, sup_{bR}g=sup_Ff, inf_{bR}g=inf_Ff. eex$$
注意 $Esubset bR$ 情形时的几何意义.
4 作业: Page 94 T 8.