[实变函数]5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分

1 记号: 一元函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的

(1)Riemann 积分: $dps{(R)int_a^b f(x) d x}$;

(2)Lebesgue 积分: $dps{(L)int_{[a,b]}f(x) d x}$.

 

2回忆

(1)Riemann 积分: 对函数 $f:[a,b] o bR$ 及 $[a,b]$ 的任一分划 $$ex T: a=x_0<x_1<cdots<x_n=b,quadsex{mbox{细度 }sen{T}=max_ilap x_i}, eex$$ 定义 Darboux 上、下和: $$eex ea U_{f,T}=sum_{i=1}^n M_ilap x_i,& M_i=sup_{[x_{i-1},x_i]}f,\ L_{f,T}=sum_{i=1}^n m_ilap x_i,& m_i=inf_{[x_{i-1},x_i]}f, eea eeex$$ 而显然有 $$eex ea Tsubset T'& a U_{f,T}geq U_{f,T'},quad L_{f,T}leq L_{f,T'};\ T,T' a L_{f,T}leq U_{f,T'}. eea eeex$$ 再定义 Darboux 上、下积分: $$ex overset{-}{int_a^b} f(x) d x=inf_T U_{f,T},quad underset{-}{int_a^b}f(x) d x=sup_T L_{f,T}. eex$$ 而显然有 $$ex overset{-}{int_a^b} f(x) d xgeq underset{-}{int_a^b}f(x) d x. eex$$ 最后定义 $$eex ea fin R[a,b]&lra overset{-}{int_a^b} f(x) d xgeq underset{-}{int_a^b}f(x) d x\ &lra exists T^{(n)}_1,T^{(n)}_2: sen{T^{(n)}_1},sen{T^{(n)}_2} o 0,st\ &quad quad U_{f,T^{(n)}_1}searrow I, L_{f,T^{(n)}_2} earrow Iquadsex{I=int_a^b f(x) d x}\ &lra exists T^{(n)}=T^{(n)}_1cup T^{(n)}_2: sen{T^{(n)}} o 0,st\ &quadquad lim_{n oinfty}sez{U_{f,T^{(n)}}-L_{f,T^{(n)}}}=0\ &lra exists T^{(n)}: 0=x^{(n)}_0<x^{(n)}_1<cdots<x^{(n)}_{P_n}: sen{T^{(n)}} o 0,st\ &quadquad lim_{n oinfty}sum_{i=1}^{P_n}sez{M^{(n)}_i-m^{(n)}_i}lap x_i=0. eea eeex$$ 注意: $$ex E=cup_{n=1}^infty T^{(n)}=cup_{n=1}^infty sed{x^{(n)}_0,x^{(n)}_1,cdots,x^{(n)}_{P_n}} eex$$ 可数, 而是零测度集. 连续函数的刻画: $$ex fmbox{ 在 }xmbox{ 处连续}lra omega(x)=lim_{delta o }sup_{x',x''in U(x,delta)cap [a,b]}|f(x')-f(x'')|=0. eex$$ 证明: $$eex ea fmbox{ 在 }xmbox{ 处连续} & aforall ve>0, exists delta>0, forall x'in U(x,delta)cap [a,b],\ &quadmbox{ 有 }|f(x')-f(x)|<ve/2\ & a forall ve>0, exists delta>0, forall x',x''in U(x,delta)cap [a,b],\ &quadmbox{ 有 }|f(x')-f(x'')|<ve. eea eeex$$ $$eex ea omega(x)=0& a forall ve>0,exists delta>0, sup_{x',x''in U(x,delta)cap [a,b]}|f(x')-f(x'')|<ve\ & a forall ve>0,exists delta>0, sup_{x'in U(x,delta)cap [a,b]}|f(x')-f(x)|<vequadsex{x''=x}. eea eeex$$ (2) Riemann 可积函数的刻画: 设 $f:[a,b] o bR$ 有界, 则 $$ex fin R[a,b]lra fae mbox{ 连续, 于 }[a,b]. eex$$ 证明: 注意到 $$ex fin R[a,b]lra exists T^{(n)}:sen{T^{(n)}} o 0,st lim_{n oinfty} sum_{i=1}^{P_n} [M^{(n)}_i-m^{(n)}_i]lap x_i=0 eex$$ 及footnote{为证 $h_n(x) o omega(x),xin [a,b]s E$, 仅须注意到 $sen{T^{(n)}} o 0$ 及 $$eex ea omega(x)&=lim_{n oinfty} sup_{x^{(n)}_{i_n-1}<x',x''<x^{(n)}_{i_n}}|f(x')-f(x'')|quadsex{mbox{不在乎是否为中央开区间}}\ &=lim_{n oinfty}[M^{(n)}_{i_n}-m^{(n)}_{i_n}]. eea eeex$$} $$eex ea lim_{n oinfty} sum_{i=1}^{P_n} [M^{(n)}_i-m^{(n)}_i]lap x_i &=lim_{n oinfty} (L)int_{[a,b]}h_n(x) d x\ &quadsex{h_n(x)=sedd{a{ll} M^{(n)}_i-m^{(n)}_i,&x^{(n)}_{i-1}<x<x^{(n)}_i\ 0,x otin T^{(n)} ea}}\ &=int_{[a,b]}lim_{n oinfty}h_n(x) d xquadsex{mbox{Lebesgue 控制收敛}}\ &=int_{[a,b]}omega(x) d xquadsex{h_n(x) o omega(x),xin [a,b]s E}. eea eeex$$ 我们有 $$eex ea fin R[a,b]& a int_{[a,b]}omega(x) d x=0\ &lra omega=0,ae\ &lra faembox{ 连续}. eea eeex$$ 3 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广: 设 $f:[a,b] o bR$footnote{$fin R[a,b] a f$ 有界.}, 则 $$ex fin R[a,b] a fin L[a,b],mbox{ 且 } (L)int_{[a,b]}f(x) d x =(R)int_a^b f(x) d x. eex$$ 证明: $$eex ea fin R[a,b]& a faembox{ 连续}\ & a fin L[a,b];\ fin R[a,b]& a exists T^{(n)}:sen{T^{(n)}} o 0,st lim_{n oinfty} sum_{i=1}^{P_n} [M^{(n)}_i-m^{(n)}_i]lap x_i=0\ & a (R)int_a^b f(x) d x =lim_{n oinfty} sum_{i=1}^{P_n} M^{(n)}_ilap x_i\ &qquadqquad qquad qquad =lim_{n oinfty}(L) int_{[a,b]}g_n(x) d x\ &qquadqquad qquad qquad quadsex{g_n(x)=sedd{a{ll} M^{(n)}_i,&x^{(n)}_{i-1}<x<x^{(n)}_i\ 0,&x otin T^{(n)} ea}}\ &qquadqquad qquad qquad =(L) int_a^b lim_{n oinfty}g_n(x) d x\ &qquadqquad qquad qquad =(L)int_a^b f(x) d x. eea eeex$$ 4 Lebesgue 积分是非负 Riemann 反常积分的推广: $$ex serd{a{ll} f:[a,+infty) o [0,+infty)\ fin R[a,A],quad forall A>a\ (R)int_a^{+infty}f(x) d xmbox{ 收敛} ea} asedd{a{ll} fin L[a,b]\ (L)int_{[a,+infty)}f(x) d x =(R)int_a^{+infty}f(x) d x. ea} eex$$ 证明: $$eex ea (L)int_{[a,+infty)}f(x) d x &=(L)int_{[a,+infty)} lim_{i oinfty}f_i(x) d xquadsex{f_i(x)=sedd{a{ll} f(x),&0leq xleq i\ 0,&x>i ea}}\ &=(L)lim_{i oinfty}int_{[a,+infty)}f_i(x) d x\ &=(L)lim_{i oinfty}int_{[a,i]}f(x) d x\ &=(R)lim_{i oinfty}int_a^if(x) d x\ &=(R)int_a^{+infty}f(x) d x. eea eeex$$ 5 Lebesgue 积分不是 Riemann 反常积分的推广: $$ex f(x)=sedd{a{ll} frac{sin x}{x},&xin (0,+infty)\ 1,x=0 ea} a fin R[0,+infty), f otin L[0,+infty). eex$$ 证明: 由 Dirichlet 判别法即知 $fin R[0,+infty)$. 往证 $$ex int_0^infty f^pm(x) d x=+infty a fmbox{ 积分不确定} a f otin L[0,+infty): eex$$ $$eex ea (L)int_{[0,+infty)}f^+(x) d x &=(L)int_{[0,+infty)} f(x)sum_{k=0}^infty f(x)sum_{k=0}^infty chi_{[2kpi,(2k+1)pi]}(x) d x\ &=sum_{k=0}^infty (L)int_{[2kpi,(2k+1)pi]}frac{sin x}{x} d x\ &=sum_{k=0}^infty (R)int_{2kpi}^{(2k+1)pi}frac{sin x}{x} d x\ &geq sum_{k=0}^infty frac{2}{(2k+1)pi}quadsex{mbox{把 }xmbox{ 提出来}}\ &=+infty;\ (L)int_{[0,+infty)}f^-(x) d x&=+infty. eea eeex$$ 6作业: Page 132, T 5.