实数域和有理数域上的正定矩阵

1. 设实半正定矩阵 $A$ 满足:
   $$eelabel{130628.1}
   alphain bQ^n,quadalpha^tAalpha=0 a alpha=0.
   eee$$
   证明或否定: $A$ 是正定的.

2. 若 (1) 中的矩阵 $A$ 为有理半正定矩阵, 再回答第一小问.

解答：

1. $A$ 不一定正定. 比如
       $$ex
       A=sex{a{cc}
       1&e\
       e&e^2ea}
       eex$$
   不正定, 但适合 eqref{130628.1}. 因为
       $$eex
       ea
       &quad 0=alpha^tAalpha=x^2+2exy+e^2y^2quad(alpha^t=(x,yinbQ^2))\
       & a e=-x/ymbox{ 或 }y=0\
       & a x=y=0,quad alpha=0.
       eea
       eeex$$
   

2. 若 $A$ 为有理矩阵, 则结论正确. 经初等变换, 存在可逆有理阵 $P$, 使得 $P^tAP=diag(lambda_1,cdots,lambda_n)$. 由 $A$ 半正定知各 $lambda_igeq 0$. 若某 $lambda_l=0$, 则取
       $$ex
       alpha^t=e_l^tP^t eq 0,quad e_l=(underbrace{0,cdots,0,1}_{lmbox{个}},0,cdots,0),
       eex$$
       有
       $$ex
       alpha^tAalpha
       =e_l^tP^tAPe_l
       =e_l^tdiag(lambda_1,cdots,lambda_n)e_l=0.
       eex$$
   

注记：

1. 这是我的博士同学 X.N. Zeng 在看他的魔鬼数论书是提出并解决的. 但是他的提法有点问题.

2. 你要搞懂我要问的是什么哦. 我是说 ``任意满足 $alpha^tQalpha=0$ 的有理向量 $alpha$, 都适合 $alpha=0$''.