1. 复球面 大漠孤烟直, 长河落日圆. $$ex bCcong bS^2s sed{N},quad bC_infty=bCcup sed{infty}mbox{ 扩充复平面}. eex$$
2. $C_infty$ 中一些概念的拓展
(1) $infty$ 的 $ve$ 邻域: $$ex N_ve(infty)=sed{zinbC; |z|>cfrac{1}{ve}}. eex$$
(2) Jordan 定理.
(3) 单连通区域 $D$: 怎样画 Jordan 闭曲线, 其内部 (或外部, 包含 $infty$) 都在 $D$ 中.
(4) 极限: $dps{lim_{z o z_0}f(z)=A}$ 当 $z_0=infty$ 或 $A=infty$ 时称为广义极限. 例: $dps{lim_{z o 0}cfrac{1}{z}=infty, lim_{z o infty}cfrac{1}{z}=0}$.
(5) 以后, 复平面 $bC$, 扩充复平面 $bC_infty$.
作业讲解: P 41-42, T 2, 6 (4) (8) , 7, 11 (1) (3) .
1. 导数与微分
(1) 定义: 对 $w=f(z),quad zin D$, 若 $$eelabel{diff} lim_{lap z o0}frac{lap w}{lap z}=f'(z) eee$$ 存在, 则称 $$ex sedd{a{ll} fmbox{ 在 }zmbox{ 处可导},\ f'(z)mbox{ 为 } f mbox{ 在 }zmbox{ 处的导数}. ea} eex$$ 由 eqref{diff}, $$ex frac{lap w}{lap z}=f'(z)+o(1) a lap w=f'(z)lap z+o(|z|) eex$$ 知 $$ex sedd{a{ll} fmbox{ 在 }zmbox{ 处可微},\ d f(z)=f'(z) d z=f'(z)lap zmbox{ 为 } f mbox{ 在 }zmbox{ 处的微分}. ea} eex$$
(2) 注记:
a. 可微 $ a$ 连续.
b. 反过来不对. 比如 $f(z)=ar z,Re z,Im z,|z|,cdots$. 如对 $f(z)=ar z$, $$ex frac{lap w}{lap z} =frac{overline{lap z}}{lap z} =sedd{a{ll} 1,&bR i lap z o 0,\ -1,&ibR i lap z o 0. ea} eex$$ 它们都是处处连续, 但处处不可微.
(3) 例: 证明: $f(z)=z^n (n=1,2,cdots)$ 可微, 且 $f'(z)=nz^{n-1}$.