设 $$ex f(z)=frac{1}{(z-1)(z-2)}. eex$$
(1) 求 $f(z)$ 在 $|z|<1$ 内的 Taylor 展式.
(2) 求 $f(z)$ 在圆环 $1<|z|<2$ 内的 Laurent 展式.
(3) 求 $f(z)$ 在圆环 $|z|>2$ 内的 Laurent 展式.
解答:
(1) $$eex ea f(z)&=frac{1}{z-2}-frac{1}{z-1}\ &=-frac{1}{2}frac{1}{1-frac{z}{2}} +frac{1}{1-z}\ &=-frac{1}{2}sum_{n=0}^infty sex{frac{z}{2}}^n +sum_{n=0}^infty z^n\ &=sum_{n=0}^infty sex{1-frac{1}{2^{n+1}}}z^n,quad |z|<1. eea eeex$$
(2) $$eex ea f(z)&=frac{1}{z-2}-frac{1}{z-1}\ &=-frac{1}{2}frac{1}{1-frac{z}{2}} -frac{1}{z}frac{1}{1-frac{1}{z}}\ &=-frac{1}{2}sum_{n=0}^infty sex{frac{z}{2}}^n -frac{1}{z}sum_{n=0}^infty frac{1}{z^n}\ &=-sum_{n=1}^infty frac{1}{z^n}-sum_{n=0}^infty frac{z^n}{2^{n+1}},quad 1<|z|<2. eea eeex$$
(3) $$eex ea f(z)&=frac{1}{z-2}-frac{1}{z-1}\ &=frac{1}{z}frac{1}{1-frac{2}{z}} -frac{1}{z}frac{1}{1-frac{1}{z}}\ &=frac{1}{z}sum_{n=0}^infty sex{frac{2}{z}}^n -frac{1}{z}sum_{n=0}^infty sex{frac{1}{z}}^n\ &=sum_{n=1}^infty frac{2^{n-1}-1}{z^n},quad |z|>2. eea eeex$$