1 ( 15 分 ) 叙述二维 Laplace 方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 的平均值公式 并用此证明 Laplace 方程的的极值原理.
2 ( 15 分 ) 用分离变量法求解下列问题: $$ex left{a{lll} frac{p^2u}{p t^2}-a^2frac{p^2u}{p x^2}=0,&(x,t)in Q=sed{(x,t); 0<x<pi, t>0},\ u|_{x=0}=u|_{x=pi}=0,&t>0,\ u_{t=0}=sin^2x, u_t|_{t=0}=x(pi-x),&0leq xleq pi. ea ight. eex$$
3 ( 15 分 ) 用 Fourier 变换求解如下二维热方程的 Cauchy 问题: $$ex left{a{ll} frac{p u}{p t}=a^2sex{frac{p^2u}{p x^2}+frac{p^2u}{p y^2}},\ u|_{t=0}=varphi(x,y). ea ight. eex$$
4 ( 15 分 ) 证明如下初边值问题解的唯一性: $$ex left{a{lll} frac{p u}{p t}-a^2frac{p^2u}{p x^2}=0,&t>0, 0<x<l,\ u|_{x=0}=mu_1(t), u|_{x=l}=mu_2(t),&t>0,\ u|_{t=0}=varphi(x),&0leq xleq l. ea ight. eex$$
5 ( 10 分 ) 叙述 Huygens 原理.
6 ( 15 分 ) 用 D'Alembert 公式求解如下 1 维波方程: $$ex left{a{lll} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t),\ u(x,0)=0,\ u_t(x,0)=varphi(x). ea ight. eex$$
7 ( 15 分 ) 写出 3 维波方程 $$ex left{a{lll} u_{tt}-lap u=0,\ u(x,0)=varphi(x),\ u_t(x,0)=psi(x), ea ight. eex$$ 的解.
附加题
8 ( 10 分 ) 设 $$ex left{a{lll} u_{tt}-a^2lap u=f(x,t),quad (x,t)in Omega imes bR_+,\ u(x,0)=varphi(x), u_t(x,0)=psi(x),\ u|_{p Omega}=0, ea ight. eex$$ 写出其能量不等式, 并证明解的唯一性.
9 ( 5 分 ) 设 $$ex left{a{ll} -lap u=f,&mbox{in }bR^3,\ lim_{sev{x} o infty}u=0, ea ight. eex$$ 其中 $f$ 绝对可积, 求 $u$.