1 可测函数
1.1可测函数与简单函数的关系
$$eex ea fmbox{ 非负可测}& a exists 0leq phi_k earrow f,\ fmbox{ 有界可测}& a exists phi_k ightrightarrows f,\ fmbox{ 一般可测}& a exists phi_k o f. eea eeex$$ 简言之, 非负可测 $ a$ 递增逼近; 有界可测 $ a$ 一致逼近; 一般可测 $ a$ 点态逼近.
1.2 可测函数与连续函数的关系 (Lusin 定理)
$$ex faembox{ 有限, 可测} a forall delta>0, exists Fsubset E, m(Es F)<delta, f|_Fmbox{ 连续}. eex$$ 简言之, $fae$ 有限, 可测 $ a$ $f$ 基本上连续.
1.3 可测函数的各种收敛
其中,
(1) Egrov 定理: $$ex serd{a{ll} mE<infty\ f_kaembox{ 收敛于 }f ea} a f_kmbox{ 基本上一致收敛于 }f. eex$$
(2) Lebesgue 定理: $$ex serd{a{ll} mE<infty\ f_kaembox{ 收敛于 }f ea} a (f_k a f). eex$$
(3) Riesz 定理: $$ex (f_k a f) a exists sed{k_j},st f_{k_j}aembox{ 收敛于 }f. eex$$
2 Lebesgue 积分
2.1 非负可测函数的积分
(1) Levi 定理: $$ex 0leq f_k earrow f a int lim f_k=lim int f_k. eex$$
(2) 逐项积分: $$ex 0leq f_k a int_E sum f_k=sum int_E f_k. eex$$
(3) Fatou 引理: $$ex 0leq f_k a int_Evarliminf f_kleq varliminf int_E f_k. eex$$
(4) Fubini 定理: $$ex 0leq f a int_{A imes B}f=int_Aint_B f. eex$$
2.2 一般可测函数的积分
(1) 积分的绝对连续性 (AC): $$ex fin L(E) a {forall ve>0, exists delta>0, forall Asubset E: mA<delta,atopmbox{ 有 }sev{int_A f(x) d x} leq int_A|f(x)| d x<ve.} eex$$
(2) Lebesgue 控制收敛: $$ex serd{a{ll} |f_i|leq F,quad Fin L(E)\ f_i o f,aembox{ 于 }E ea} asedd{a{ll} lim_{i oinfty}int_E|f_i(x)-f(x)| d x=0\ lim_{i oinfty}int_E f_i(x) d x =int_E f(x) d x. ea} eex$$
(3) 依测度控制收敛: $$ex serd{a{ll} |f_i|leq F,quad Fin L(E)\ f_i a f ea} asedd{a{ll} lim_{i oinfty}int_E|f_i(x)-f(x)| d x=0\ lim_{i oinfty}int_E f_i(x) d x =int_E f(x) d x. ea} eex$$
(4) 逐项积分:$$ex serd{a{ll} f_iin L(E)\ sum_{i=1}^infty int_E|f_i(x)| d x<+infty ea} asedd{a{ll} sum_{i=1}^infty f_i(x),ae mbox{ 收敛, 于 }E\ int_Esum_{i=1}^infty f_i(x) d x =sum_{i=1}^infty int_Ef_i(x) d x. ea} eex$$
(5) 积分号下求导: 设 $f(x,t)$ 是 $E imes (a,b)$ 上的实函数, 则 $$ex serd{a{ll} f(cdot,t)in L(E),quad forall t\ f(x,cdot)mbox{ 可导}, sev{frac{p f}{p t}(x,cdot)}leq F(x),aembox{ 于 }E,quad Fin L(E) ea}\ a frac{ d}{ d t}int_E f(x,t) d x =int_E frac{p}{p t}f(x,t) d x. eex$$
(6) Fubini 定理: $$ex fin L(A imes B) a int_{A imes B}f=int_Aint_Bf. eex$$
2.3 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系
$$ex R[a,b]subset L[a,b],quad R^+[a,infty)subset L^+[a,+infty). eex$$
附言
若需更详细的, 请参阅 《家里蹲大学数学杂志第4卷第253期, 实变函数讲义》.