设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$ex int_0^1 f(x) d x=1,quad int_0^1 xf(x) d x=a,quad int_0^1 x^2f(x) d x=a^2 eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.
解答: 由 $$eex ea a^2&=sex{int_0^1 xf(x) d x}^2\ &=sex{int_0^1 sqrt{f(x)}cdot xsqrt{f(x)} d x}^2\ &leq int_0^1 f(x) d xcdot int_0^1 x^2f(x) d x\ &=1cdot a^2\ &=a^2 eea eeex$$ 及 Schwarz 不等式中等式成立的条件知 $$ex exists k,st xsqrt{f(x)}=ksqrt{f(x)}. eex$$ 故 $fequiv 0$ (否则, 若 $f(x_0)>0$, 则在某 $U(x_0)$ 内, $x=k$, 矛盾).