设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_pin (a,b)$, 使 $$ex f^p(x_p)=cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t. eex$$ 试求 $dps{vlm{p}x_p}$.
解答: 由 H"older 不等式, $$eex ea f^p(x_p)&=cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t)cdot 1 d t\ &leq cfrac{1}{b-a}sex{ int_a^b f^{pcdotfrac{p+1}{p}}(t) d t }^frac{p}{p+1} sex{ int_a^b 1^{p+1} d t }^{frac{1}{p+1}}\ &=cfrac{1}{b-a} sex{int_a^b f^{p+1}(t) d t}^{frac{p}{p+1}} (b-a)^{frac{1}{p+1}}\ &=sex{cfrac{1}{b-a}int_a^b f^{p+1}(t) d t}^frac{p}{p+1}\ &=f^p(x_{p+1}). eea eeex$$ 又 $f$ 严格递增, 我们有 $x_pleq x_{p+1}$. 如此, $x_p$ 递增有上界. 由单调有界定理, $dps{vlm{p}x_p=x_infty}$ 存在. 另外, $$eex ea f(x_p)&=sez{cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t}^{frac{1}{p}},\ f(x_infty)&=vlm{p}sez{cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t}^{frac{1}{p}} =max_{aleq tleq b}f(t)=f(b),\ x_infty&=b, eea eeex$$ 其中第二个等式成立 (对 $fgeq 0$) 的理由如下. 显然, $$ex vls{p}sez{cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t}^{frac{1}{p}} leq max_{aleq tleq b}f(t). eex$$ 又设 $$ex exists xiin [a,b],st f(xi)=max_{aleq tleq b}f(t). eex$$ 而对 $forall ve>0$, 存在 $xi$ 的某个左或右邻域 (因为 $xi$ 可能为端点, 而只能如此说) $[c,d]$ 使得 $$ex xin [c,d] a f(x)geq f(xi)-ve. eex$$ 于是 $$eex ea sez{cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t}^{frac{1}{p}}&geq sez{cfrac{1}{b-a}int_c^d f^p(t) d t}^{frac{1}{p}}\ &geq [f(xi)-ve] sex{cfrac{d-c}{b-a}}^{frac{1}{p}}. eea eeex$$ 令 $p oinfty$ 有 $$ex vls{p}sez{cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t}^{frac{1}{p}}geq f(xi)-ve. eex$$ 再令 $ve o 0^+$ 有 $$ex vls{p}sez{cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t}^{frac{1}{p}}geq f(xi). eex$$