设 $fin L(bR)$, 试证: $$ex vsm{n}f(n^2x) eex$$ 在 $bR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.
证明: 由 $fin L(bR)$ 知 $|f|in L(bR)$ (see [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 109 (vi)). 既然 $$ex vsm{n} int |f(n^2x)| d x =vsm{n} frac{1}{n}^2int |f(t)| d t <infty, eex$$ 我们有 (see [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 116 定理 7) $$ex int vsm{n} f(n^2x) d x =vsm{n} int f(n^2x) d x =vsm{n} frac{1}{n^2}int f(t) d t. eex$$ 按照 [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 108 (ii) 即知 $$ex vsm{n} f(n^2x) eex$$ 在 $bR$ 上几乎处处有限, 而收敛.