设 $mathbb{P}$ 为数域, 如果 $p_1(x),cdots,p_r(x)$ 是数域 $mathbb{P}$ 上的 $r$ 个两两不同的首相系数为 $1$ 的不可约多项式, 证明: $f(x)=p_1(x)cdots p_r(x)$ 在数域 $mathbb{P}$ 上无重根.
证明: 用反证法. 若 $f(x)$ 有 $k(geq 2)$ 重根 $x=a$, 则 $$eelabel{poly_div} f(x)=p_1(x)cdots p_r(x)=(x-a)^2g(x). eee$$令 $x=a$ 有 $$ex p_1(a)cdots p_r(a)=0. eex$$ 而至少有一个 $i$ 使得 $p_i(a)=0$, 于是 $$ex (x-a)mid p_i(x). eex$$ 既然 $p_i(x)$ 首一、不可约, 我们有 $$ex p_i(x)=x-a. eex$$ 将上式代入 eqref{poly_div}, 化简而有 $$ex p_1(x)cdots p_{i-1}(x)p_{i+1}(x)cdots p_r(x)=(x-a)g(x). eex$$ 同上论证又可发现 $$ex exists j eq i,st p_j(x)=x-a. eex$$ 于是 $p_i(x), p_j(x)$ 相同. 这一矛盾说明假设不成立. 故有结论.