1. 证明满足 (6) 的范数可以由一个内积诱导出来. 这个结论属于 von Neumann.
证明: 以实线性空间为例, 取内积 $$ex sex{x,y}=cfrac{1}{4}[sen{x+y}^2-sen{x-y}^2], eex$$ 则 $sex{x,y}$ 为内积, 且 $sex{x,x}^frac{1}{2}=sen{x}$.
2. 证明内积连续地依赖于它的因子, 即若 $x_n o x$, $y_n o y$ (这意味着 $sen{x_n-x} o 0$, $sen{y_n-y} o 0$), 则 $(x_n,y_n) o (x,y)$.
证明: $$eex ea sev{(x_n,y_n)-(x,y)} &leq sev{(x_n,y_n-y)}+sev{(x_n-x,y)}\ &leq sen{x_n}cdot sen{y_n-y} +sen{x_n-x}cdot sen{y}\ &leq maxsed{max_n sen{x_n},sen{y}}cdot sez{sen{y_n-y}+sen{x_n-x}}. eea eeex$$
3. 证明 $ell^2$ 是完备的内积空间.
证明: $ell^2$ 的完备性已然在 Page 31 (b) 中说明.
4. 证明引理 5.
证明: (i) 设 $l$ 是线性空间 $X$ 上的非零线性泛函, $$ex N_l=sed{xin X; l(x)=0}. eex$$ 取 $yin X$ 使得 $l(y) eq 0$, 则 $$eelabel{6_4_sum} X=N_loplus spansed{y}. eee$$事实上, 显然 $N_lcap spansed{y}=sed{0}$, $$ex x=sez{x-cfrac{l(x)}{l(y)}y}+cfrac{l(x)}{l(y)}yin N_l+spansed{y}. eex$$ 由 eqref{6_4_sum}, 第 2 章习题 8 即知 $$ex codim N_l=1. eex$$ (ii) 若 $l,m$ 中某一为零泛函, 则显然结论成立, 不然, $$ex Nequiv N_l=N_m,quad codim N=1. eex$$ 取 $yin X$ 使得 $l(y) eq0$, 则 $m(y) eq 0$, 设 $$ex l(y)=c_1cdot m(y), eex$$ 则 $$eex ea l(n+ky)&=kcdot l(y)quadsex{forall nin N, forall k}\ &=kcdot c_1cdot m(y)\ &=c_1cdot m(ky)\ &=c_1cdot m(n+ky). eea eeex$$ (iii) 设 $N_l i x_n o x$, 则由 $l$ 的连续性, $$ex l(x_n)=0 a l(x)=0 a xin N_l. eex$$
5. 证明一个集合的闭线性张是它的线性张的闭包.
证明: 设 $S$ 是一个集合, 一方面, $S$ 的线性张的闭包 $W$ 是闭线性子空间 (Page 30 定理 2); 另一方面, 任一包含 $S$ 的闭线性子空间均包含 $W$. 故有结论.
6. 证明引理 8.
证明: 由 $dps{sum|a_j|^2<infty}$ 知 $forall k$, $sed{j; |a_j|>1/k}$ 均为有限集, 而 $sed{j; a_j eq 0}$ 是可数的. 故 (27) 为可数和 $dps{x=vsm{j}a_jx_j}$. 又由 $$eex ea sev{sum_{j=k}^l a_jx_j}^2&=sex{sum_{j=k}^l a_jx_j,sum_{j=k}^l a_jx_j}\ &=sum_{j=k}^l |a_j|^2\ & o 0quadsex{k oinfty} eea eeex$$ 及 $H$ 完备知 $dps{vsm{j}a_jx_j}$ 是收敛的. 据内积的连续性易知 $$ex sen{x}^2=sex{x,x}=vsm{j}|a_j|^2,quad a_j=(x,x_j). eex$$ 记 $$ex Y=sed{x=vsm{j}a_jx_j; vsm{j}|a_j|^2<infty, sed{x_j}mbox{ 为任一可数的标准正交子集}}, eex$$ 则由定理 7 知 $Y$ 为 $sed{x_j}$ 的闭线性包.
7. 证明定理 $9'$.
证明: 取 $$ex a{ll} z_1=x_1,&y_1=cfrac{z_1}{sen{z_1}},\ z_2=x_2-(x_2,y_1)y_1,&y_2=cfrac{z_2}{sen{z_2}},\ cdots,&cdots,\ z_n=x_n-sum_{j=1}^{n-1}(x_n,y_j)y_j,&y_n=cfrac{z_n}{sen{z_n}} ea eex$$ 即可.
8. 设 $H$ 是一个 Hilbert 空间. 证明 $H$ 的任意两个标准正交基的基数相同.
证明: 设 $sed{x_j}$, $sed{y_k}$ 为 $H$ 的两个标准正交基, 则 $$ex x=sum a_jx_j=sum b_ky_k, eex$$ 其中 $$ex sum |a_j|^2<infty,quadsum |b_k|^2<infty,quad a_j=(x,x_j),quad b_k=(x,y_k). eex$$ 特别地, $$ex y_k=sum (y_k,x_j)x_j,quad x_j=sum (x_j,y_k)y_k. eex$$ 这样, $$ex y_kmapsto sed{(y_k,x_j)}_j,quad x_jmapsto sed{(x_j,y_k)}_k eex$$ 定义了 $sed{y_k}_k$ 到 $sed{(y_k,x_j)}_{k,j}$, $sed{x_j}_j$ 到 $sed{(x_j,y_k)}_{j,k}$ 的双射. 又由 $$ex overline{(y_k,x_j)}=(x_j,y_k) eex$$ 给出了 $sed{(y_k,x_j)}_{k,j}$ 与 $sed{(x_j,y_k)}_{j,k}$ 之间的双射. 而存在 $sed{y_k}_k$ 与 $sed{x_j}_j$ 之间的双射, 它们的基数是相同的.
9. 证明定理 10.
证明: 设 ${f M}: x o y$. 则 $$ex sen{{f M} x}^2=sen{y}^2=sum |a_j|^2=sen{x}^2. eex$$ 于是 ${f M}$ 为等距. 另外, 设 ${f A}:H o H$ 是等距, $sed{x_j}$ 为 $H$ 的一个标准正交基, 则由等距的性质, $sed{{f A} x_j}$ 也为 $H$的一个标准正交基．这样, $$ex {f A}:quad H i x=sum a_jx_jmapsto {f A} x=sum a_j({f A} x_j)in H. eex$$ 注意: 按照习题 6 的证明, 上述求和其实是可数求和.
10. 证明, 每个可分的无限维 Hilbert 控股你就按都同构于空间 $ell^2$, 其中 $ell^2$ 是由满足 $$ex sen{x}^2=sum |a_j|^2<infty eex$$ 的向量 $x=(a_1,a_2,cdots)$ 构成的线性空间.
证明: 取定 $H$ 的一个标准正交基 $sed{x_j}_{j=1}^infty$, 则 $$ex H i vsm{j}a_jx_jmapsto sed{a_j}in ell^2 eex$$ 给出了一个等距同构.
错误指出:
Page 48, 第 4 行, $u$ 前面加上非零两字.