设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=E$. 证明:
(1) $A$ 相似于形如 $dps{sex{a{cc} E_s&\ &-E_{n-s} ea}}$ 的矩阵;
(2) 对于任何正整数 $m,k$, 都有 $$ex ank(A+E)^m+ ank(A-E)^k=n. eex$$
证明:
(1) 设 $$ex V_1=sed{x; (A-E)x=0},quad V_2=sed{x; (A+E)x=0}, eex$$ 则
(a)由 $$ex x=frac{A+E}{2}x+frac{E-A}{2}xin V_1+V_2 eex$$ 知 $bF^n=V_1+V_2$;
(b)由 $$ex xin V_1cap V_2 a Ax=x=-Ax a x=Ax=0 eex$$ 知 $bF^n=V_1oplus V_2$. ei 取 $V_1$ 的一组基 $alpha_1,cdots,alpha_s$, $V_2$ 的一组基 $alpha_{s+1},cdots,alpha_n$. 则 $$ex A(alpha_1,cdots,alpha_n)=(alpha_1,cdots,alpha_n)sex{a{cc} E_s&\ &-E_{n-s} ea}. eex$$ 此即说明结论.
(2)由 $$ex A^2=E a (A+E)(A-E)=0 a (A+E)^m(A-E)^k=0 eex$$ 知 $$ex ank(A+E)^m+ ank(A-E)^kleq n. eex$$ 为证 $$ex ank(A+E)^m+ ank(A-E)^kgeq n, eex$$ 不妨设 $mleq k$, 由 $$eex ea (E+A)^k+(E-A)^k&=E+sex{katop 1}A+sex{katop 2}A^2 +cdots+sex{katop k}A^k\ &+E-sex{katop 1}A+sex{katop 2}A^2-cdots+sex{katop k}(-1)^kA^k\ &=sez{1+sex{katop 2}+cdots+sex{katop 2sez{frac{k}{2}}}}E eea eeex$$ 知 $$eex ea n&leq ank (E+A)^k+ ank(E-A)^k\ &= ank (A+E)^k+ ank(A-E)^k\ &leq ank (A+E)^m+ ank(A-E)^k. eea eeex$$