1. 设 $f$ 在 $(a,b)$ 内可微, $$ex lim_{x o a^+}f(x)=A=lim_{x o b^-}f(x). eex$$ 试证: $$ex exists xiin (a,b),st f'(xi)=0. eex$$
2. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, $f(0)=0$, $f(1)=1$, $k_1,cdots,k_n$ 为 $n$ 个正数. 试证: $$ex exists 0leq x_1<cdots<x_nleq 1,st sum_{i=1}^n frac{k_i}{f(x_i)}=sum_{i=1}^n k_i. eex$$
3. 设 $fin C[a,b]cap C^2(a,b)$, 试证: $$ex exists xiin (a,b),st f(b)-2fsex{frac{a+b}{2}} +f(a)=frac{(b-a)^2}{4}f''(xi). eex$$
4. 设 $f$ 在 $[0,infty)$ 上可微, $f(0)=0$, 且 $$ex exists A>0,st |f'(x)|leq A|f(x)|,quad forall xin [0,infty). eex$$ 试证: $fequiv 0$.
5. 设 $f$ 在 $[0,a]$ 上适合 $|f''(x)|leq M$, $f$ 在 $(0,a)$ 内取得最大值. 试证: $$ex |f'(0)|+|f'(a)|leq Ma. eex$$
6. (Darboux 定理) (1). 设 $f$ 在 $(a,b)$ 内可导, 则 $(a,b)$ 内的点要么为 $f'(x)$ 的连续点, 要么为 $f'$ 的第二类间断点. (2). 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(a)<f'(b)$, 则 $$ex forall c: f'(a)<c<f'(b), exists xiin (a,b),st f'(xi)=c. eex$$
7. 设 $fin C^2(bR)$ 且有界. 试证: $$ex exists xiin bR,st f''(xi)=0. eex$$
8. 设 $fin C^3[a,b]$. 试证: $$ex exists xiin (a,b),st f(b)=f(a)+frac{1}{2}(b-a)[f'(a)+f'(b)]-frac{1}{12}(b-a)^3f'''(xi). eex$$
作业. 设 $fin C^2[a,b]$ 适合 $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$ex forall xin [a,b], exists xiin (a,b),st f(x)=frac{1}{2}(x-a)(x-b)f''(xi). eex$$