1. (Taylor 公式). 设 $f^{(n)}$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f^{(n+1)}$ 在 $(a,b)$ 内存在, 试证: $ forall x,x_0in [a,b], exists ximbox{ 在 }x,x_0mbox{ 之间},st $ $$ex f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+cdots +frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. eex$$
2. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上三阶可导, 试证: $$ex exists xiin (a,b),st f(b)=f(a)+f'sex{frac{a+b}{2}}(b-a)+frac{1}{24}f'''(xi)(b-a)^3. eex$$
3. 设 $f$ 在 $(a,b)$ 内二阶可导, 试证: $$ex exists xiin (a,b),st int_a^b f(x) d x =(b-a)fsex{frac{a+b}{2}} +frac{1}{24}f''(xi)(b-a)^3. eex$$
4. 设 $fin C^2(bR)$, 并记 $$ex M_i=sup_{xinbR}|f^{(i)}(x)|,quad i=0,1,2;quadquad M_0,M_2<infty. eex$$ 试证: $ M_1^2leq 2M_0M_2. $
5. 设 $$ex f(x+h)=f(x)+hf'(x)+cdots+frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x+ t h),quad 0< t<1, eex$$ 且 $f^{(n+1)}(x) eq 0$. 试证: $$ex lim_{h o 0} t(h)=frac{1}{n+1}. eex$$
作业. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $$ex f(0)=f(1)=0,quad min_{0leq xleq 1}f(x)=-1. eex$$ 试证: $$ex max_{0leq xleq 1}f''(x)geq 8. eex$$