1. $$ex alinbR a int_0^infty frac{ d x}{(1+x^2)(1+x^al)}=? eex$$
解答: $$eex ea int_0^infty frac{ d x}{(1+x^2)(1+x^al)}&=int_0^1cdots+int_1^inftycdots\ &=int_1^infty frac{x^al d x}{cdots}+int_1^infty frac{ d x}{cdots}\ &=int_1^infty frac{ d x}{1+x^2}=frac{pi}{4}. eea eeex$$
2. $$ex int_0^1 frac{arcsin x}{x} d x. eex$$
解答: $$eex ea int_0^1 frac{arcsin x}{x} d x &=int_0^frac{pi}{2} frac{tcos t}{sin t} d t\ &=int_0^frac{pi}{2}t d ln sin t\ &=-int_0^frac{pi}{2}ln sin t d t\ &=frac{pi}{2}ln 2. eea eeex$$ 这里, 最后一步用了我们上课时做过的一个习题: $$ex int_0^frac{pi}{2}ln sin x d x=-frac{pi}{2}ln 2. eex$$