来自陶哲轩小弟.
1. 计算行列式 $$ex D=sevm{ frac{1}{a_1+b_1}&frac{1}{a_1+b_2}&cdots&frac{1}{a_1+b_n}\ frac{1}{a_2+b_1}&frac{1}{a_2+b_2}&cdots&frac{1}{a_2+b_n}\ vdots&vdots&ddots&vdots\ frac{1}{a_n+b_1}&frac{1}{a_n+b_2}&cdots&frac{1}{a_n+b_n} }. eex$$
2. 二次型 $$ex f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+e x_3^2 -2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3 eex$$ 的秩为 $2$.
(1) 求 $e$;
(2) 求正交变换, 将二次型化为标准型.
3. 矩阵 $A$ 的 $n-1$ 阶子式不全为零, 给出齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一组解, 并求方程所有的解.
4. $V_1,V_2$ 均是有限维线性空间, 且满足 $$ex dim (V_1+V_2)=dim (V_1cap V_2)+1. eex$$ 证明: 必有 $V_1+V_2=V_1$, $V_1cap V_2=V_2$ 或 $V_1+V_2=V_2$, $V_1cap V_2=V_1$.
5. 证明与 $A$ 交换的矩阵均可表为 $A$ 的多项式, 其中 $$ex A=sexm{lm&1&0&cdots&0&0\ 0&lm&1&cdots&0&0\ 0&0&lm&cdots&0&0\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ 0&0&0&cdots&lm&1\ 0&0&0&cdots&0&lm}. eex$$
6. $n$ 阶方阵 $A$ 的每行每列恰有一个元素为 $1$ 或 $-1$, 其余元素均为零. 证明: 存在 $kinbN$, 使得 $A^k=E$.
7. 定义 $M_n(bC)$ 上的线性变换 $scrA(X)=AX-XA$, 证明 $scrA$ 的特征值必有 $lm_i-lm_j$ 的形式, 其中 $lm_i,lm_j$ 是 $A$ 的特征值.
8. 设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶复方阵. 如果 $AB-BA=mu B$, 其中 $mu$ 是一个非零复数. 证明:
(1) $A,B$ 必有公共的特征向量;
(2) $A,B$ 可同时上三角化.
9. 设多项式 $g(x)=p^k(x)g_1(x) (kgeq 1)$, 多项式 $p(x)$ 与 $g_1(x)$ 互素. 证明: 对任意多项式 $f(x)$ 有 $$ex frac{f(x)}{g(x)} =frac{r(x)}{p^k(x)} +frac{f_1(x)}{p^{k-1}(x)g_1(x)}, eex$$ 其中 $r(x),f_1(x)$ 都是多项式, $r(x)=0$ 或 $deg r(x)<deg p(x)$.