(1) 用反证法. 不妨设 $A$ 的后 $r$ 个行向量线性无关, 后 $r$ 个列向量线性无关, 若它们对应的行列构成的 $r$ 阶子式等于零, 则对 $A$ 的后 $r$ 行实行初等行变换, 有 $$ex A o sexm{ B_{m-1,n-r}&C_{m-1,r}\ al_{1,n-r}&0_{1,r}}=H. eex$$ 由 $A$ 的后 $r$ 个行向量线性无关知 $al eq 0$; 由 $A$ 后 $r$ 个列向量线性无关知 $ (C)=r$. 于是 $$ex (A)= (H)geq (C)+ (al)=r+1. eex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.