这是我初学线段树时的一些学习记录，主要参考了其他一些博客（见参考文章），再加上基本的代码实现
一、线段树的概念
线段树擅长处理区间，树上的每个节点都维护一个区间，根维护的是整个区间，每个节点维护的是父亲节点区间二等分后的其一子区间。当有n个元素时，对区间的操作可以在O（log n）时间内完成。
二、线段树可处理的问题
区间最值，区间求和O(log n)内完成，等具有区间加法的性质的问题
区间加法：可通过将问题分解成若干子问题后合并得出最终结果，如区间和=左区间和+右区间和，区间最值=左区间最值+右区间最值
不符合区间加法，如求整个区间的众数，整个区间的最长连续0等
三、直观理解
注：区间的data域为区间和
四、实现
（1）建树
此处为结构体数组，关于数组大小：
由于线段树是一种二叉树，所以当区间长度为2的幂时，它正好是一棵满二叉树，数组存储的利用率达到最高（即100%），根据等比数列求和可以得出，满二叉树的结点个数为2*n-1（n为叶节点个数，也为输入数据的个数）。那么是否对于所有的区间长度n都满足这个公式呢？答案是否定的，当区间长度为6时，最大的结点编号为13（包括没有数据的叶节点，因为是数组存储，该出占了空间但未使用），而公式算出来的是12（2*6）。
那么 数组大小取多少合适呢？
为了保险起见，我们可以先找到比n大的最小的二次幂，然后再套用等比数列求和公式，这样就万无一失了。举个例子，当区间长度为6时，max_n= 2 * 8；当区间长度为1000，则max_n = 2 * 1024；当区间长度为10000，max_n = 2 * 16384。一般取四倍空间，即n<<2.
#include <iostream> #define max_n 1000 using namespace std; struct treeNode { int data; //数据域，再次存放需要数据，此处为区间和 int lz; //懒惰标记，表示该区间已更新数据，但其子区间的数据还没更新 }; treeNode node[max_n]; //数组表示整棵树，下标从1开始 int input[max_n] = {0,1,2,3,4,5,6}; //此为模拟的输入数据 void pushup(int p) //在向上回溯时更新当前节点的data域，此处为求子区间的和 { node[p].data= node[p<<1].data+node[p<<1|1].data; } void build_tree(int p,int l,int r) { if(l==r) //若只有一个节点，则为叶节点，将数据填入 { node[p].data = input[l]; node[p].lz = 0; return; } int mid = (l+r)>>1; build_tree(p<<1,l,mid); //递归地构建左子树，此处将中间节点划分为左子树部分，与下面在分叉时的条件相对应 build_tree(p<<1|1,mid+1,r); //递归地构建右子树 pushup(p);//回溯时更新当前数据域 }
（2）点修改
1 void pmodify(int p,int l,int r,int val) //l为当前区间节点左端点，r为相应的右端点 2 { 3 if(l==r) //到达该点 4 { 5 node[p].data = val;//修改值 6 return; 7 } 8 int mid = (l+r)>>1; //若未到达，利用二分 9 if(p<=mid) pmodify(p,l,mid,val);//递归搜索左子树 10 else pmodify(p,mid+1,r,val);//递归搜索右子树 11 pushup(p);//搜索完后更新值 12 }
（3）关于懒惰标记
（4）区间修改和区间查询
1 void pushdown(int p,int ln,int rn) //下推懒惰标记 2 { 3 if(node[p].lz) //如果懒惰标记不为0 4 { 5 node[p<<1].lz += node[p].lz; //更新左子树的懒惰标记 6 node[p<<1|1].lz += node[p].lz;//更新右子树的懒惰标记 7 node[p<<1].data += ln*node[p].lz;//更新左子树的数据域，因为此时左子树懒惰标记已存在，根据懒惰标记含义，应该更新 8 node[p<<1|1].data += rn*node[p].lz;//更新右子树的数据域，同上 9 node[p].lz = 0;//将改节点的懒惰标记清0 10 } 11 } 12 void update(int p,int L,int R,int l,int r,int val)//数据域的处理，[L,R]表示将处理的区间，[l,r]表示当前节点的表示区间 13 { //val在此为在要处理的区间统一要加上的数值 14 if(L<=l&&r<=R)//若当前节点的表示区间完全落在要处理的区间 15 { 16 node[p].data = node[p].data+val*(r-l+1);//更新该区间的数据域 17 node[p].lz = node[p].lz+val;//更新懒惰标记 18 return; 19 } 20 int mid = (l+r)>>1;//此处为利用mid二分区间，最终目标是递归到区间完全包含的情况 21 pushdown(p,mid-l+1,r-mid);//根据懒惰标记定义，下推懒标记 22 if(L<=mid) update(p<<1,L,R,l,mid,val);//目标区间与当前节点的左区间有交集 23 if(mid<R) update(p<<1|1,L,R,mid+1,r,val);//目标区间与当前节点的右区间有交集 24 pushup(p);//回溯时更新当前节点的数据域 25 26 } 27 int query(int p,int L,int R,int l,int r)//[L,R]为目标区间，[l,r]为当前节点的表示区间 28 { 29 if(L<=l&&r<=R) //同上 30 { 31 return node[p].data; 32 } 33 int mid = (l+r)>>1; 34 pushdown(p,mid-l+1,r-mid); 35 int ans = 0; 36 if(L<=mid) ans += query(p<<1,L,R,l,mid); 37 if(mid<R) ans += query(p<<1|1,L,R,mid+1,r); 38 return ans; 39 }
(5)实例：
1 int main() 2 { 3 build_tree(1,1,6); 4 int ans = query(1,3,5,1,6); 5 cout << ans << endl; 6 update(1,3,5,1,6,1); 7 ans = query(1,3,5,1,6); 8 cout << ans << endl; 9 return 0; 10 }
现在查询【3,5】的区间和，如图为3+4+5=12
现在要把【3,5】区间上的每个数加1，
调用函数update(1,3,5,1,6,1)
L=3,R=5,l=1,r=6,val=1
mid = (1+6)<<1 = 3;
if(3<=3)满足，update(2,3,5,3,3,1)
L=3，R=5，l=r=3
if(3<=3&&3<=5)满足，更新数据和懒标记如图（紫色为兰标记，红色为更新的数值），return
回到上一个update
if(3<5)满足，update(3,3,5,4,6,1)
L=3,R=5,l=4,r=6,val=1
这一个update下，mid=5
if(3<=5)满足，update(6,3,5,4,5,1)
if(3<=4&&5<=5)满足，更新数据和懒标记如图
在这一个update,
if(5<5)不满足，返回，
回溯过程中更新了数据域，如图（注意此时懒惰标记位置）
完成操作
查询【3,5】的区间和
类似于update的执行过程，最终得结果15
（6）参考文章：
英雄哪里出来，夜深人静写算法（七）- 线段树，https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/78969718
AC_King，线段树详解，https://www.cnblogs.com/AC-King/p/7789013.html