Codeforces B. Minimum Possible LCM（贪心数论）

题目描述：

B. Minimum Possible LCM

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4 seconds

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1024 megabytes

input

standard input

output

standard output

You are given an array aconsisting of integers a1,a2,…,a**n

Your problem is to find such pair of indices i,j that lcm((a_i),(a_j))is minimum possible.

lcm(x,y) is the least common multiple of and x and y(minimum positive number such that both x and y are divisors of this number).

Input

The first line of the input contains one integer n — the number of elements in a

The second line of the input contains n integers a1,a2,…,an (1≤ai≤107), where ai is the i-th element of a.is the i.

Output

Print two integers i and (1≤i<j≤n is minimum among all valid pairs i,j

思路：

题目是要求一组数中两个数的最小公倍数的最小值。刚开始一个直白的想法就是枚举，把每两个数的gcd求出来，根据gcd求每两个数的lcm。这种做法的时间复杂度为O((n^2log_2 n))，在看看题目的数据范围，显然不太科学，限时4秒，(10^{12}log_210^{6}),会远远超时。怎么办？

我们来想一想，一般lcm问题与gcd问题是挂钩的。怎么样来求，由于数据的范围给定了，考虑枚举数的因子，从1开始到(10^7)，在数列中找到一因子为最大公约数的两个最小数，就是答案。为什么？

假设现在枚举到了公因子d，数列中是d的倍数的有(x_1)<(x_2)<(x_3)<...<(x_n)，如果d是(x_1),(x_2)的gcd，那么也就满足条件，x1,x2的最小公倍数肯定最小（在d为因子时）。如果d不是x1,x2的gcd，那也不是后面数的gcd，那么最大公倍数就不会最小。

由于d是从小到大枚举的，如果在d时满足条件，肯定为局部最优解。如果都不满足d为gcd，d++，继续枚举直到满足。由于算法一定会终止，算法的正确性就有了保障。算法复杂度是O((nlog_2 n))

需要注意的是当元素有重复的情况，那么这种元素的最小公倍数就是本身，而且只可能是最小重复元素的时候，因为如果比它大的重复元素的lcm一定大于它，不会是全局最小lcm，单独在输入的时候不断覆盖，留下最小的一种即可。

注意LLONG_MAX和LONG_MAX是不一样的，我一开始错了，原来因为是数不够大。

代码：

#include <iostream>
#include <climits>
#define INF LLONG_MAX
#define max_n 10000007
using namespace std;
long long a[max_n];
int n;
int pos[max_n];
long long ans = 0;
long long minm = INF;
int x = 0;
int y = 0;
long long gcd(long long a,long long b)
{
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        int v;
        cin >> v;
        a[v]++;
        if(a[v]>1&&v<minm)
        {
            minm = v;
            x = pos[v];
            y = i;
        }
        pos[v] = i;
    }
    for(int i = 1;i<max_n;i++)
    {
        long long v = 0;
        for(int j = i;j<max_n;j+=i)
        {
            if(a[j]==0)
            {
                continue;
            }
            if(v==0)
            {
                v = j;
            }
            else
            {
                long long g = gcd(v/i,j/i);
                if(g==1)
                {
                    ans = (long long)j/i*v;
                    if(ans<minm)
                    {
                        //cout << "v " << v << " j " << j << endl;
                        minm = ans;
                        x = pos[v];
                        y = pos[j];
                    }
                }
                break;

            }
        }
    }
    if(x>y) swap(x,y);
    cout << x <<  " " << y << endl;
    return 0;
}

参考文章：

KobeDuu，Minimum Possible LCM【枚举】，https://blog.csdn.net/qq_41157137/article/details/89353527